Seja f: R backslashraiz3 R tal que lim x raiz3 f(x) existe, é positivo e satisfaz
lim x raiz3(2 f(x)^3-5 f(x)^2-3 f(x))=0
Determine lim x raiz3 f(x).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função
f:Rsetminusraiz3toR
tal que limxtoraiz3f(x) existe, é positivo, e satisfaz
limxtoraiz3l(2f(x)^3-5f(x)^2-3f(x)r)=0
Vamos usar a propriedade de que, se P é polinômio e lim f(x)=L existe, então
lim P(f(x))=P(L). A partir disso, encontraremos L resolvendo a equação polinomial.

Passo 2

Seja
L=limxtoraiz3f(x)
Como P(y)=2y^3-5y^2-3y é contínuo, vale
limxtoraiz3P(f(x))=Pl(limxtoraiz3f(x)r) ;Longrightarrow; P(L)=0

Passo 3

Escrevendo P(L)=0:
2L^3-5L^2-3L=0

Passo 4

Fatorando L:
L,(2L^2-5L-3)=0
Temos a solução L=0 ou, resolvendo
2L^2-5L-3=0,
L=5pmraiz25+244 =5pm74,
isto é, L=3 ou L=-tfrac12.

Passo 5

Como o enunciado garante que o limite é positivo, descartamos 0 e -tfrac12. Logo
L=3

Resposta

3

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