Mostrar que as equações dadas abaixo são exatas e em seguida resolva-as.
(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x - y),dx + (2y - x),dy = 0
que é uma 1-forma da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. O objetivo é mostrar que ela é exata (isto é, existe uma função potencial psi(x,y) tal que dpsi = M,dx + N,dy) e então encontrar essa psi para obter a solução geral.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x - y, N(x,y) = 2y - x
Para verificar exatidão, comparamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = -1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) = 2x - y
Integramos em relação a x:
psi(x,y) = integral (2x - y),dx = x^2 - x,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos o fato de que também
partial psipartial y = N(x,y) = 2y - x
Por outro lado,
partial psipartial y = partialpartial yl(x^2 - x,y + h(y)r) = -x + h'(y)
Igualando a N(x,y):
-,x + h'(y) = 2y - x Longrightarrow h'(y) = 2y Longrightarrow h(y) = y^2 + C0
Podemos absorver a constante C0 na constante final da solução.

Passo 5

Assim a função potencial é
psi(x,y) = x^2 - x,y + y^2,
e a solução geral da equação diferencial exata vem de
psi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
x^2 - x,y + y^2 = C

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