Mostrar que as equações dadas abaixo são exatas e em seguida resolva-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que é uma 1-forma da forma
. O objetivo é mostrar que ela é exata (isto é, existe uma função potencial
tal que
) e então encontrar essa
para obter a solução geral.
Passo 2
Identificamos
Para verificar exatidão, comparamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos o fato de que também
Por outro lado,
Igualando a
:
Podemos absorver a constante
na constante final da solução.
Passo 5
Assim a função potencial é
e a solução geral da equação diferencial exata vem de
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é