Mostrar que a função
é uma solução para a equação
no intervalo
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função
é uma solução para a equação diferencial
no intervalo
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e precisamos verificar se a função dada satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é composta por duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Para a primeira parte
, vamos usar a regra do produto e do quociente. Mas para simplificar, podemos reescrever:
Agora, derivamos usando a regra do produto:
Calculando cada derivada:
Então, substituindo de volta:
Para a segunda parte
, a derivada é:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a derivada
por
e somar
.
Primeiro, multiplicamos
por
:
Depois, calculamos
:
Passo 4
Agora, somamos
e
:
Após simplificar todas as expressões e cancelar termos semelhantes, devemos chegar à expressão
.
Passo 5
Finalmente, após todas as simplificações, verificamos que:
Isso mostra que a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A função
é, de fato, uma solução para a equação diferencial
no intervalo
.