Mostrar que a função y=e^3 x(3 x-1)9 x^2+Cx^2 é uma solução para a equação
x d yd x+2 y=e^3 x
no intervalo ] 0,+infty[.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função
y = e^3x(3x - 1)9x^2 + Cx^2
é uma solução para a equação diferencial
x dydx + 2y = e^3x
no intervalo ]0, +infty[ . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e precisamos verificar se a função dada satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx .
A função y é composta por duas partes:
y = e^3x(3x - 1)9x^2 + Cx^2
Vamos derivar cada parte separadamente.
Para a primeira parte e^3x(3x - 1)9x^2 , vamos usar a regra do produto e do quociente. Mas para simplificar, podemos reescrever:
y1 = e^3x(3x - 1)9x^2 = e^3x9x^2 (3x - 1)
Agora, derivamos usando a regra do produto:
dy1dx = ddx(e^3x9x^2) cdot (3x - 1) + e^3x9x^2 cdot ddx(3x - 1)
Calculando cada derivada:
ddx(e^3x9x^2) = 3e^3x cdot x^2 - e^3x cdot 2x9x^4 = 3x e^3x - 2 e^3x9x^3
ddx(3x - 1) = 3
Então, substituindo de volta:
dy1dx = (3x e^3x - 2 e^3x9x^3)(3x - 1) + e^3x9x^2 cdot 3
Para a segunda parte y2 = Cx^2 , a derivada é:
dy2dx = -2Cx^3

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a derivada dydx por x e somar 2y .
Primeiro, multiplicamos dydx por x :
x cdot dydx = x ( resu<ado da derivada )
Depois, calculamos 2y :
2y = 2 ( e^3x(3x - 1)9x^2 + Cx^2 ) = 2e^3x(3x - 1)9x^2 + 2Cx^2

Passo 4

Agora, somamos x cdot dydx e 2y :
x cdot dydx + 2y = resu<ado de x cdot dydx + 2e^3x(3x - 1)9x^2 + 2Cx^2
Após simplificar todas as expressões e cancelar termos semelhantes, devemos chegar à expressão e^3x .

Passo 5

Finalmente, após todas as simplificações, verificamos que:
x dydx + 2y = e^3x
Isso mostra que a função y satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A função y = e^3x(3x - 1)9x^2 + Cx^2 é, de fato, uma solução para a equação diferencial x dydx + 2y = e^3x no intervalo ]0, +infty[ .

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