Determine o valor do cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo formado por duas diagonais espaciais de um cubo, ou seja, pelas retas que vão de um vértice a seu vértice oposto passando pelo centro. O conteúdo principal aqui é o produto escalar em R^3, que nos dá
vcdotw = |v|;|w|costheta

Passo 2

Escolhemos um cubo de aresta 1 cujos vértices tenham coordenadas em 0,1^3. Duas diagonais que se cruzam no centro l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r) são, por exemplo, a que vai de (0,0,0) a (1,1,1) e a que vai de (0,0,1) a (1,1,0). Como queremos vetores de direção, podemos tomar
v = (1,1,1), w = (1,1,-1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
vcdotw = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot(-1) = 1,
|v| = |w| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3
Logo,
costheta = vcdotw|v|;|w| = 1raiz3,raiz3 = 13

Resposta

13

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