Às 4 horas e x minutos os ponteiros de um relógio formam um ângulo de 180^circ. Determine os minutos x.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar os minutos x tais que, às 4 horas e x minutos, o ângulo formado entre o ponteiro das horas e o dos minutos seja de 180^circ. O conteúdo usado aqui é a posição angular de cada ponteiro em função do tempo e a condição de formação de ângulo entre eles.

Passo 2

A posição angular do ponteiro dos minutos, medida a partir do 12, é
thetam = 6x,
pois cada minuto equivale a 6^circ.
A posição angular do ponteiro das horas, às 4 horas e x minutos, é
thetah = 4times 30 + 0,5x = 120 + 0,5x,
já que cada hora são 30^circ e cada minuto faz o ponteiro das horas avançar 0,5^circ.

Passo 3

A condição para que o ângulo entre eles seja 180^circ é
l|thetah - thetamr| = 180
Substituindo as expressões,
l|120 + 0,5x - 6xr| = 180 Longrightarrow l|120 - 5,5xr| = 180

Passo 4

Resolvendo l|120 - 5,5xr| = 180 temos duas possibilidades:
  1. 120 - 5,5x = 180 que dá x = -tfrac605,5 (descartado, não faz sentido em minutos).
  2. 120 - 5,5x = -180 que leva a
-5,5x = -300 Longrightarrow x = 3005,5 = 60011

Resposta

x = 60011approx 54,545 minutos.

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