O conteúdo aqui é composição de função arco-tangente com módulo. Vamos usar o conhecimento do comportamento de arctan(x) e a propriedade de simetria do módulo para montar o gráfico.
Passo 2
Reescrevendo em duas regiões:
Para x>=0, temos lvert xrvert=x, logo
f(x)=arctan(x), x>=0
Para x<0, temos lvert xrvert=-x, logo
f(x)=arctan(-x), x<0
Passo 3
Recordando a função g(x)=arctan(x):
Domínio: R.
Imagem: l(-tfracpi2,tfracpi2r).
É estritamente crescente, com limxto+inftyg(x)=tfracpi2 e limxto-inftyg(x)=-tfracpi2
No ponto x=0, g(0)=0, derivada g'(0)=1. Para x>0, g''(x)<0 (concavidade para baixo).
Passo 4
No semieixo x>=0, o gráfico de f(x) coincide com y=arctan(x):
Parte crescente que sai de (0,0).
Concavidade para baixo em toda a região positiva.
Aproximação assintótica à reta horizontal y=pi2 quando xto+infty.
Passo 5
Como f(x)=arctanl|xr| depende só de lvert xrvert, f é função par. Logo, a parte para x<0 é o espelho da parte de x>0 refletida no eixo y. Em particular:
f(0)=0.
limxto-inftyf(x)=pi2.
Há um “canto” em x=0 pois a derivada à esquerda vale -1 e à direita vale +1.
Resposta
O gráfico de f(x)=arctanlvert xrvert é uma curva que:
Parte do ponto (0,0).
Cresce para a direita exatamente como y=arctan(x), com concavidade para baixo e assintota horizontal y=tfracpi2.
Para x<0, faz o espelho dessa curva no eixo y.
Assim, obtemos uma curva em “V suavizado” (com cusp em (0,0)), limitada inferiormente em y=0 e com assíntota horizontal y=tfracpi2 para xtopminfty.