Esboce o gráfico da função f(x)=arctg|x|.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=arctanl|xr|
O conteúdo aqui é composição de função arco-tangente com módulo. Vamos usar o conhecimento do comportamento de arctan(x) e a propriedade de simetria do módulo para montar o gráfico.

Passo 2

Reescrevendo em duas regiões:
Para x>=0, temos lvert xrvert=x, logo
f(x)=arctan(x), x>=0
Para x<0, temos lvert xrvert=-x, logo
f(x)=arctan(-x), x<0

Passo 3

Recordando a função g(x)=arctan(x):
  • Domínio: R.
  • Imagem: l(-tfracpi2,tfracpi2r).
  • É estritamente crescente, com
    limxto+inftyg(x)=tfracpi2 e
    limxto-inftyg(x)=-tfracpi2
  • No ponto x=0, g(0)=0, derivada g'(0)=1. Para x>0, g''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 4

No semieixo x>=0, o gráfico de f(x) coincide com y=arctan(x):
  • Parte crescente que sai de (0,0).
  • Concavidade para baixo em toda a região positiva.
  • Aproximação assintótica à reta horizontal
    y=pi2 quando xto+infty.

Passo 5

Como f(x)=arctanl|xr| depende só de lvert xrvert, f é função par. Logo, a parte para x<0 é o espelho da parte de x>0 refletida no eixo y. Em particular:
  • f(0)=0.
  • limxto-inftyf(x)=pi2.
  • Há um “canto” em x=0 pois a derivada à esquerda vale -1 e à direita vale +1.

Resposta

O gráfico de f(x)=arctanlvert xrvert é uma curva que:
  • Parte do ponto (0,0).
  • Cresce para a direita exatamente como y=arctan(x), com concavidade para baixo e assintota horizontal y=tfracpi2.
  • Para x<0, faz o espelho dessa curva no eixo y.
    Assim, obtemos uma curva em “V suavizado” (com cusp em (0,0)), limitada inferiormente em y=0 e com assíntota horizontal y=tfracpi2 para xtopminfty.

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