Determine o valor de cotg x-1cossec x-sec x, visto que x in 1^o quadrante e cos x=12.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão dfraccotgx - 1cossecx - sec x, sabendo que x está no primeiro quadrante e cos x = tfrac12. Vamos usar definições e identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Usando a identidade fundamental da trigonometria, temos
sin^2 x + cos^2 x = 1
Como cos x = tfrac12, obtemos
sin x = raiz1 - l(tfrac12r)^2 = raiz32

Passo 3

Agora calculamos as funções trigonométricas que aparecem:
  • cotgx = dfraccos xsin x = dfractfrac12tfracraiz32 = dfrac1raiz3 = dfracraiz33
  • sec x = dfrac1cos x = 2
  • cossecx = dfrac1sin x = dfrac2raiz3 = dfrac2raiz33

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão original, temos:
cotgx - 1cossecx - sec x = dfracraiz33 - 1dfrac2raiz33 - 2
Colocando em comum denominador 3:
= dfracraiz3 - 33dfrac2raiz3 - 63 = raiz3 - 32raiz3 - 6
Fatorando 2raiz3 - 6 = 2(raiz3 - 3), resulta
raiz3 - 32(raiz3 - 3) = 12

Resposta

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