Determine o valor desconhecido nas seguintes células, considere a temperatura de 298,15 \mathrm{~K}. Use a notação indicada pela IUPAC: CATODO \| ANODO (atenção, as reações não precisam ser necessariamente espontâneas). Os potenciais-padrão de redução foram apresentados em aula. Desconsidere quaisquer efeitos do solvente ( \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} ).
\quad \mathrm{Au}(\mathrm{s})\left|\mathrm{Au}^{3+}\left(\mathrm{aq}, ? \mathbf{m o l} \mathbf{~ L}^{-\mathbf{1}}\right) \| \mathrm{Fe}^{2+}\left(\mathrm{aq}, 0,015 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}\right)\right| \mathrm{Fe}(\mathrm{s}) ; \mathrm{E}=0,56 \mathrm{~V}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a concentração desconhecida de \mathrm{Au}^{3+} (em \mathrm{mol\;L^{-1}}) na célula eletroquímica descrita pela notação IUPAC
\mathrm{Au}(\mathrm{s})\mid \mathrm{Au}^{3+}(\mathrm{aq},\;?\;\mathrm{mol\;L^{-1}})\;\|\;\mathrm{Fe}^{2+}(\mathrm{aq},\;0{,}015\;\mathrm{mol\;L^{-1}})\mid \mathrm{Fe}(\mathrm{s})
Foi dado o potencial da célula: \;E_{\text{cel}}=0{,}56\\ \mathrm{V} e a temperatura \;T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Dados fornecidos resumidos:
\begin{aligned} &\text{Cátodo (à esquerda): } \mathrm{Au}^{3+} + 3e^- \to \mathrm{Au}(\mathrm{s}),\;[\mathrm{Au}^{3+}]=?\\\ &\text{Anodo (à direita): } \mathrm{Fe}(\mathrm{s}) \to \mathrm{Fe}^{2+} + 2e^-,\;[\mathrm{Fe}^{2+}]=0{,}015\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\\\ &\;E_{\text{cel}}=0{,}56\\ \mathrm{V},\;T=298{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}áàà

Passo 2

Pegando os potenciais-padrão de redução (valores apresentados em aula):
\begin{aligned} &\mathrm{Au}^{3+} + 3e^- \to \mathrm{Au}(\mathrm{s}),\qquad E^\circ(\mathrm{Au}^{3+}/\mathrm{Au})=+1{,}50\\ \mathrm{V},\\\ &\mathrm{Fe}^{2+} + 2e^- \to \mathrm{Fe}(\mathrm{s}),\qquad E^\circ(\mathrm{Fe}^{2+}/\mathrm{Fe})=-0{,}44\\ \mathrm{V}. \end{aligned}
O potencial-padrão da célula é
E^\circ_{\text{cel}}=E^\circ_{\text{cátodo}}-E^\circ_{\text{ânodo}}=1{,}50-(-0{,}44)=1{,}94\\ \mathrm{V}.áâ

Passo 3

Balanceamos as meias-reações para obter o número total de elétrons transferidos na reação global. As metades são:
\mathrm{Au}^{3+}+3e^-\to\mathrm{Au}
\mathrm{Fe}\to\mathrm{Fe}^{2+}+2e^-
Para igualar elétrons, multiplica-se a primeira por 2 e a segunda por 3. Reação global:
2\,\mathrm{Au}^{3+}+3\,\mathrm{Fe}\to 2\,\mathrm{Au}+3\,\mathrm{Fe}^{2+}
Logo o número de elétrons trocados na reação global é n=6.

Passo 4

Apresento a equação de Nernst (forma logaritmo decimal, prática a 298{,}15\\ \mathrm{K}):
E_{\text{cel}}=E^\circ_{\text{cel}}-\frac{0{,}059157}{n}\log_{10}Q,
onde:
  • E_{\text{cel}} é o potencial da célula nas condições dadas ( 0{,}56\\ \mathrm{V});
  • E^\circ_{\text{cel}} é o potencial-padrão da célula ( 1{,}94\\ \mathrm{V});
  • n é o número total de elétrons trocados ( 6);
  • Q é o quociente de reação (produtos/reatantes, omitindo sólidos e líquidos puros).
Para a reação global temos
Q=\frac{[\mathrm{Fe}^{2+}]^{3}}{[\mathrm{Au}^{3+}]^{2}}.
Explico: sólidos (Au(s) e Fe(s)) não aparecem em Q; o expoente vem dos coeficientes estequiométricos.

Passo 5

Substituímos os valores conhecidos na equação de Nernst e resolvemos para [\mathrm{Au}^{3+}].
Primeiro isolamos \log_{10}Q:
E^\circ_{\text{cel}}-E_{\text{cel}}=\frac{0{,}059157}{n}\log_{10}Q
\log_{10}Q=\frac{n\,(E^\circ_{\text{cel}}-E_{\text{cel}})}{0{,}059157}.
Agora colocamos os números:
\log_{10}Q=\frac{6\,(1{,}94-0{,}56)}{0{,}059157}=\frac{6\cdot 1{,}38}{0{,}059157}\approx 140{,}03.
Portanto Q\approx 10^{140{,}03} (número enorme, não vamos escrever em forma decimal inteira).

Passo 6

Agora usamos a definição de Q para obter [\mathrm{Au}^{3+}]:
Q=\frac{[\mathrm{Fe}^{2+}]^{3}}{[\mathrm{Au}^{3+}]^{2}} \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{Au}^{3+}]^{2}=\frac{[\mathrm{Fe}^{2+}]^{3}}{Q}.
Tomando logaritmo decimal e usando valores:
\log_{10}[\mathrm{Au}^{3+}]^{2}=3\log_{10}(0{,}015)-\log_{10}Q.
Cálculos:
\log_{10}(0{,}015)=\log_{10}(15\cdot 10^{-3})=\log_{10}15-3\approx 1{,}176091-3=-1{,}823909.
3\log_{10}(0{,}015)\approx 3\cdot(-1{,}823909)=-5{,}471727.
\log_{10}[\mathrm{Au}^{3+}]^{2}=-5{,}471727-140{,}03=-145{,}5017.
Dividindo por 2:
\log_{10}[\mathrm{Au}^{3+}]=-72{,}7509\quad\Rightarrow\quad [\mathrm{Au}^{3+}]=10^{-72{,}7509}.
Escrevendo em forma científica:
[\mathrm{Au}^{3+}]\approx 1{,}78\times 10^{-73}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o resultado é extremamente pequeno — isto faz sentido físico porque, para que a célula tenha potencial tão baixo ( 0{,}56\\ \mathrm{V}) apesar de \mathrm{Au}^{3+}/\mathrm{Au} ter potencial-padrão muito positivo, a concentração de \mathrm{Au}^{3+} precisa ser praticamente nula. Tipo de verificação: calcular com a forma natural da Nernst daria o mesmo valor (diferenças numéricas pequenas por arredondamento).

Resposta

\\ [\mathrm{Au}^{3+}]=1{,}78\times 10^{-73}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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