Determine o valor de x para que o determinante da matriz \underset{\sim}{M}=\left(\begin{array}{cc}x-1 & 2 \\\\ 4 & x+1\end{array}\right) seja igual a zero.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\tilde M = \begin{pmatrix}x-1 & 2 \\[6pt] 4 & x+1\end{pmatrix}
e pede o(s) valor(es) de x para que o determinante de \tilde M seja zero. Aqui vamos usar a fórmula do determinante para matrizes 2\times2 e resolver a equação quadrática resultante.]

Passo 2

O determinante de uma matriz 2\times2 \bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) é dado por ad - bc. Aplicando em \tilde M:
\det(\tilde M) = (x-1)(x+1) \;-\; 2\cdot 4.
Expandindo,
\det(\tilde M) = x^2 - 1 \;-\; 8 = x^2 - 9.

Passo 3

Queremos \det(\tilde M)=0, então
x^2 - 9 = 0.
Isto é uma equação quadrática que fatoriza como
(x-3)(x+3) = 0.
Portanto, as soluções são x=3 e x=-3.

Resposta

x = -3 ou x = 3.

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