Determine o valor dos determinantes
Resolver as equações
\left|\begin{array}{ccc}x & 2 & 2 \\\ x-1 & x & -3 \\\\ 1 & x+2 & -1\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de x tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} x & 2 & 2 \\[6pt] x-1 & x & -3 \\[6pt] 1 & x+2 & -1 \end{pmatrix}
é zero. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e resolução de uma equação polinomial em x.]

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela primeira linha. Seja
D(x) = x\cdot \begin{vmatrix} x & -3 \\[3pt] x+2 & -1 \end{vmatrix} -2\cdot \begin{vmatrix} x-1 & -3 \\[3pt] 1 & -1 \end{vmatrix} +2\cdot \begin{vmatrix} x-1 & x \\[3pt] 1 & x+2 \end{vmatrix}.]

Passo 3

Calculamos cada menor:
\begin{vmatrix} x & -3 \\[3pt] x+2 & -1 \end{vmatrix} = x(-1)-(-3)(x+2) = -x+3x+6 =2x+6,
\begin{vmatrix} x-1 & -3 \\[3pt] 1 & -1 \end{vmatrix} =(x-1)(-1)-(-3)\cdot1 =-x+1+3 =-x+4,
\begin{vmatrix} x-1 & x \\[3pt] 1 & x+2 \end{vmatrix} =(x-1)(x+2)-x\cdot1 =x^2+x-2 - x =x^2-2.]

Passo 4

Substituindo em D(x) e somando os termos, temos
D(x) = x(2x+6)-2(-x+4)+2(x^2-2) =2x^2+6x+2x-8+2x^2-4 =4x^2+8x-12.
A condição D(x)=0 leva à equação
4x^2+8x-12=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2+2x-3=0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática \,x^2+2x-3=0, usamos a fórmula:
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2} =\frac{-2\pm4}{2},
portanto
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-3.

Resposta

x=1 ou x=-3

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