Esboce o gráfico da curva associada à equação vetorial
. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva dada pela parametrização
indicando também com setas a direção em que
cresce. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em
; vamos analisar cada componente para entender a geometria.
Passo 2
Observe a coordenada
. Isso mostra que todo ponto da curva satisfaz
ou seja, a curva vive inteiramente no plano vertical paralelo ao plano a uma distância constante de
da origem no eixo
.
ou seja, a curva vive inteiramente no plano vertical paralelo ao plano
Passo 3
Para entender a forma da curva, projete-a no plano
. A projeção é
Aqui
oscila com período
e
oscila com período
. Essa combinação é um caso clássico de Lissajous com razões de frequência
, formando uma “oito” deitada — isto é, dois laços conectados, simétricos em relação à origem do plano
.
Passo 4
Para orientar o esboço e inserir as setas de direção, avalie alguns pontos-chave na projeção
:
- Para
:
. - Para
:
. - Para
:
. - Para
:
. - Para
:
.
Entre esses pontos, conforme
cresce partindo de
,
decresce de
para
enquanto
sobe de
para
, apontando a primeira seta na direção nordeste do plano
. Ao longo de
a curva completa dois laços, sempre seguindo o sentido determinado pelo aumento de
.
Passo 5
Transpondo essa projeção para
, fazemos cada ponto ficar em
. Portanto, o esboço é o “oito” deitado do plano
, deslocado para
. Basta desenhar os eixos
, traçar o plano
paralelo a
, e dentro dele riscar a curva de Lissajous com setas no sentido de crescimento de
.
Resposta
A curva é um laço em forma de “8” deitada, contido no plano
, com setas indicando o sentido de
crescente conforme exemplificado nos pontos acima.