Esboce o gráfico da curva associada à equação vetorial r(t)=(1, \cos (t), \operatorname{sen}(2 t)). Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva dada pela parametrização
r(t) = \bigl(1,\;\cos(t),\;\sin(2t)\bigr),
indicando também com setas a direção em que t cresce. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em \mathbb{R}^3; vamos analisar cada componente para entender a geometria.

Passo 2

Observe a coordenada x(t)=1. Isso mostra que todo ponto da curva satisfaz x=1,
ou seja, a curva vive inteiramente no plano vertical paralelo ao plano yz a uma distância constante de 1 da origem no eixo x.

Passo 3

Para entender a forma da curva, projete-a no plano yz. A projeção é
(y,z) = \bigl(\cos(t),\;\sin(2t)\bigr).
Aqui \cos(t) oscila com período 2\pi e \sin(2t) oscila com período \pi. Essa combinação é um caso clássico de Lissajous com razões de frequência 1:2, formando uma “oito” deitada — isto é, dois laços conectados, simétricos em relação à origem do plano yz.

Passo 4

Para orientar o esboço e inserir as setas de direção, avalie alguns pontos-chave na projeção yz:
  • Para t=0:
    (y,z) = (\cos0,\;\sin0) = (1,0).
  • Para t=\pi/4:
    (y,z) = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\;1\bigr).
  • Para t=\pi/2:
    (y,z) = (0,0).
  • Para t=3\pi/4:
    (y,z) = \bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},\;1\bigr).
  • Para t=\pi:
    (y,z) = (-1,0).
Entre esses pontos, conforme t cresce partindo de 0, y decresce de 1 para 0 enquanto z sobe de 0 para 1, apontando a primeira seta na direção nordeste do plano yz. Ao longo de t\in[0,2\pi] a curva completa dois laços, sempre seguindo o sentido determinado pelo aumento de t.

Passo 5

Transpondo essa projeção para \mathbb{R}^3, fazemos cada ponto ficar em x=1. Portanto, o esboço é o “oito” deitado do plano yz, deslocado para x=1. Basta desenhar os eixos x,y,z, traçar o plano x=1 paralelo a yz, e dentro dele riscar a curva de Lissajous com setas no sentido de crescimento de t.

Resposta

A curva é um laço em forma de “8” deitada, contido no plano x=1, com setas indicando o sentido de t crescente conforme exemplificado nos pontos acima.

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