Nos exercícios a seguir, determine a derivada da função vetorial.
\vec{r}(t)=\left(\cos 3 t, \operatorname{sen}^{3} t, \cos ^{3} t\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \displaystyle \vec r(t) = \bigl(\cos(3t),\,\sin^3 t,\,\cos^3 t\bigr)
e pede \dfrac{d\vec r}{dt}. O conteúdo é derivada de função vetorial feita componente a componente, usando regra da cadeia e regra do poder para funções escalares.

Passo 2

Derivamos a primeira componente \cos(3t). Aplicando regra da cadeia: derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u) e u=3t tem derivada 3. Logo,
\frac{d}{dt}\bigl[\cos(3t)\bigr] = -\sin(3t)\cdot 3 = -3\,\sin(3t).

Passo 3

Derivamos a segunda componente \sin^3 t. É uma composição (\sin t)^3, então usamos regra do poder e regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl[\sin^3 t\bigr] = 3\,\sin^2 t\;\cdot\frac{d}{dt}[\sin t] = 3\,\sin^2 t\;\cos t.

Passo 4

Derivamos a terceira componente \cos^3 t. De novo, regra do poder e cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl[\cos^3 t\bigr] = 3\,\cos^2 t\;\cdot\frac{d}{dt}[\cos t] = 3\,\cos^2 t\,(-\sin t) = -3\,\cos^2 t\,\sin t.

Resposta

\frac{d\vec r}{dt} = \bigl(-3\sin(3t),\;3\sin^2 t\cos t,\;-3\cos^2 t\sin t\bigr).

Exercícios relacionados