Determine o valor da expressão dada:
27^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão 27^{\frac{2}{3}}. Isso significa que temos uma base 27 e um expoente fracionário \frac{2}{3}. Vou listar claramente o que é pedido: encontrar o valor numérico de 27^{\frac{2}{3}}.

Passo 2

Entender o que significa um expoente fracionário é crucial. A regra é: para a>0 e inteiros m,n>0,
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}.
Aqui:
  • a é a base;
  • m é o numerador do expoente fracionário (indica potência);
  • n é o denominador (indica raiz enésima).
    Isso quer dizer que podemos primeiro tirar a raiz de índice n e depois elevar ao expoente m, ou primeiro elevar a a m e depois tomar a raiz enésima — para a>0 essas duas ordens dão o mesmo resultado.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso temos m=2 e n=3. Assim
27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^{2}} = \bigl(\sqrt[3]{27}\bigr)^{2}.
Vou usar ambas as interpretações para deixar claro que o resultado é consistente.

Passo 4

Uma observação útil: 27 é uma potência inteira de 3. De fato,
27 = 3^{3}.
Substituindo isso na expressão original:
27^{\frac{2}{3}} = \bigl(3^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}.

Passo 5

Usamos a propriedade de potências \bigl(a^{p}\bigr)^{q}=a^{p q}. Aplicando aqui:
\bigl(3^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}} = 3^{3\cdot\frac{2}{3}}.
Agora calcule o produto dos expoentes:
3\cdot\frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2,
logo a expressão fica
3^{2}.

Passo 6

Como verificação pela outra interpretação (raiz seguida de potência): primeiro a raiz cúbica de 27 é \sqrt[3]{27}=3, e então elevando ao quadrado obtemos novamente \bigl(\sqrt[3]{27}\bigr)^{2}=3^{2}. As duas maneiras coincidem.

Resposta

9

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