Determine o valor da expressão:
\frac{5!+3!}{7!}=

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da expressão
\frac{5!+3!}{7!}.
Informações dadas:
  • O numerador é a soma de \,5!\, e \,3!\,.
  • O denominador é \,7!\,.
    A tarefa é simplificar essa fração até obter um valor final.

Passo 2

Relembre o que é fatorial. Para um inteiro não negativo n, define-se
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1,
ou seja, o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n.
Exemplos rápidos:
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6, \qquad 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.

Passo 3

Calcule explicitamente \,5!\, e \,3!\,:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120, \qquad 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.

Passo 4

Calcule \,7!\,. Use que
7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Uma forma rápida é usar que 5!=120, então
7! = 7\cdot6\cdot5! = 7\cdot6\cdot120 = 42\cdot120 = 5040.

Passo 5

Agora substitua os valores na expressão e some o numerador:
\frac{5!+3!}{7!} = \frac{120+6}{5040} = \frac{126}{5040}.

Passo 6

Simplifique a fração \dfrac{126}{5040}. Obs.: é útil notar que 126 divide 5040, porque
5040\div126 = 40.
Portanto a fração simplifica para
\frac{126}{5040} = \frac{1}{40}.

Passo 7

Apresentando também um método algébrico de cancelamento com fatoriais (útil na prova): escrever 7! em função de 5!:
7! = 7\cdot6\cdot5!.
Então
\frac{5!+3!}{7!} = \frac{5!}{7\cdot6\cdot5!} + \frac{3!}{7\cdot6\cdot5!} = \frac{1}{7\cdot6} + \frac{3!}{7\cdot6\cdot5!}.
Como 5! = 5\cdot4\cdot3!, tem-se
\frac{3!}{7\cdot6\cdot5!} = \frac{3!}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3!} = \frac{1}{7\cdot6\cdot5\cdot4}.
Logo
\frac{1}{42} + \frac{1}{840} = \frac{20}{840} + \frac{1}{840} = \frac{21}{840} = \frac{1}{40},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{40}

Exercícios relacionados