Determine o valor de:
\frac{10^{2} \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-3}}{10^{-2} \cdot 10^{-6}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor da expressão
\frac{10^{2}\cdot 10^{-4}\cdot 10^{-3}}{10^{-2}\cdot 10^{-6}}.
Informações dadas: apenas potências de base \,10 com expoentes inteiros (positivos e negativos). O objetivo é simplificar usando as regras de potências.

Passo 2

Regra importante (produto de potências de mesma base): quando multiplicamos potências com a mesma base, somam-se os expoentes. A fórmula é
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
onde a é a base (aqui a=10) e m,n são expoentes. Exemplo concreto: \,2^{3}\cdot 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}.

Passo 3

Aplicando essa regra ao numerador \,10^{2}\cdot 10^{-4}\cdot 10^{-3}: some os expoentes
2 + (-4) + (-3)=2-4-3.
Calcule passo a passo:
2-4=-2,
-2-3=-5.
Portanto o numerador simplifica para
10^{-5}.

Passo 4

Agora o denominador \,10^{-2}\cdot 10^{-6}. Usando a mesma regra (somar expoentes),
-2 + (-6) = -8.
Logo o denominador é
10^{-8}.

Passo 5

Regra importante (divisão de potências de mesma base): ao dividir potências com a mesma base, subtrai-se o expoente do denominador do expoente do numerador. A fórmula é
\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q},
onde a é a base e p,q são expoentes. Exemplo: \dfrac{2^{5}}{2^{2}}=2^{5-2}=2^{3}.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso com p=-5 e q=-8:
\frac{10^{-5}}{10^{-8}}=10^{-5-(-8)}=10^{-5+8}=10^{3}.

Passo 7

Interpretação final de \,10^{3}: potência positiva significa multiplicar por 10 três vezes, então
10^{3}=1000.

Resposta

10^{3}=1000

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