Determine o valor de para que a função dada seja contínua em :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o valor de L para que a função f(x) seja contínua em x = 2 . Isso tá ligado ao conteúdo de continuidade de funções e limites. Pra resolver, vamos precisar entender como calcular limites e garantir que a função não “quebra” nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em x = 2 . Para isso, o limite da função quando x se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Matemáticamente, isso é:
limx to 2 f(x) = f(2) = L
Então, nossa missão é calcular esse limite para descobrir qual L faz tudo ficar certinho.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 2. A função é definida assim:
f(x) = x^3 - 8x - 2 para x neq 2
Perceba que x^3 - 8 é uma diferença de cubos, e isso pode ser fatorado. A fatoração fica:
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Então, substituindo na função:
f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2
Aí, cancelamos o x - 2 que está no numerador e no denominador:
f(x) = x^2 + 2x + 4 para x neq 2
Agora, podemos calcular o limite direto substituindo x por 2:
limx to 2 f(x) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Passo 4
Pra garantir que a função seja contínua em x = 2 , o valor de L tem que ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:
L = 12
Resposta
O valor de L que torna a função contínua em x = 2 é L = 12 .