Identifique se o exemplo a seguir é função e justifique sua resposta. Em caso negativo, determine qual deve ser o domínio para que a função esteja definida. Em seguida, esboce o gráfico.
, com f(x)=llx^2 & se x >= 0, -x^2 & se x<0 e Df=R;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = x^2 & se x >= 0, -x^2 & se x < 0
O domínio dado é $ D_f = \mathbb{R} $ (todos os números reais) e o contradomínio é $ CD_f = \mathbb{N} $ (números naturais). A gente precisa identificar se isso é realmente uma função, justificar, e se não for, ajustar o domínio para que seja. Depois, esboçar o gráfico.
Para resolver, vamos precisar entender o que é função, domínio, contradomínio e analisar o comportamento dessa função definida por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma regra que associa cada elemento do domínio a apenas um elemento do contradomínio. Ou seja, para cada $ x $ no domínio, existe um e apenas um $ f(x) $ no contradomínio.
Vamos verificar se a definição dada respeita essa regra.

Passo 3

Vamos analisar as duas partes da função:
  1. Para $ x \geq 0 $: $ f(x) = x^{2} $
    Aqui, para cada $ x $ positivo ou zero, a função retorna o quadrado de $ x $, que é sempre um número não negativo.
  2. Para $ x < 0 $: $ f(x) = -x^{2} $
    Aqui, para cada $ x $ negativo, a função retorna o negativo do quadrado de $ x $, que é sempre um número não positivo.
Até agora, parece que para cada $ x $ no domínio original ($ \mathbb{R} $), a função retorna exatamente um valor. Então, parece ser uma função válida.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o contradomínio $ CD_f = \mathbb{N} $. Os números naturais geralmente são $ {1, 2, 3, ···} $. Vamos ver quais valores $ f(x) $ pode realmente assumir:
  • Para $ x \geq 0 $: $ x^{2} $ pode ser $ 0, 1, 4, 9, ··· $
  • Para $ x < 0 $: $ -x^{2} $ pode ser $ 0, -1, -4, -9, ··· $
Observamos que $ f(x) $ pode ser zero e números negativos, mas o contradomínio é apenas números naturais positivos. Isso significa que nem todos os valores de $ f(x) $ estão dentro do contradomínio declarado.

Passo 5

Como $ f(x) $ pode retornar valores que não estão em $ \mathbb{N} $ (como zero e números negativos), a definição original não satisfaz a condição de ser uma função com $ CD_f = \mathbb{N} $.
Para corrigir isso, precisamos ajustar o domínio para que $ f(x) $ sempre retorne valores em $ \mathbb{N} $. Vamos ver como fazer isso.

Passo 6

Para garantir que $ f(x) $ sempre retorne um número natural, precisamos:
  • Eliminar casos onde $ f(x) = 0 $
  • Evitar que $ f(x) $ seja negativo
Vamos observar que:
  • Em $ x \geq 0 $, $ x^{2} $ é sempre não negativo, mas queremos exclusivamente números naturais, então precisamos $ x^{2} \geq 1 $.
  • Em $ x < 0 $, $ -x^{2} $ é sempre não positivo, o que não está em $ \mathbb{N} $, então essa parte não satisfaz o contradomínio.
Portanto, para $ f(x) $ ter valores apenas em $ \mathbb{N} $, devemos considerar apenas $ x \geq 1 $ (inteiros) para evitar $ f(x) = 0 $ e garantir que $ f(x) $ seja positivo.

Passo 7

Então, ajustando o domínio:
Df = x in N | x >= 1
E a função fica apenas:
f(x) = x^2 para x >= 1
Agora, para cada $ x $ no novo domínio, $ f(x) $ será um número natural positivo, respeitando o contradomínio $ CD_f = \mathbb{N} $.

Passo 8

Por último, vamos esboçar o gráfico da função ajustada $ f(x) = x^{2} $ com $ x \geq 1 $.
  • O gráfico será a parábola $ y = x^{2} $, mas apenas para $ x \geq 1 $.
  • Começa em $ (1, 1) $ e se estende para a direita, aumentando rapidamente.
Gráfico de f(x) = x² para x ≥ 1

Resposta

Não, a definição original não é uma função adequada para o contradomínio $ \mathbb{N} $. Para que $ f(x) $ seja uma função com domínio $ D_f = { x \in \mathbb{N} \ | \ x \geq 1 } $ e contradomínio $ CD_f = \mathbb{N} $, a função deve ser definida apenas para $ x \geq 1 $ e ser $ f(x) = x^{2} $.

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