Uma empresa de eventos, fechou uma festa de aniversário para um grupo de 60 pessoas, o valor ficou em 200 reais por pessoa. A empresa tem um custo fixo, por festa, de 6 mil reais e um custo por
1,0 pessoa de 50 reais. A empresa de eventos fez a seguinte proposta a aniversariante: para cada pessoa adicionada, além das 60 já combinadas, seria possível reduzir 2 reais no valor do pacote por pessoa. Nessas condições, qual o número de pessoas na festa que maximizaria o lucro da empresa de eventos? Qual seria o lucro da empresa? A partir de quantas pessoas adicionadas a proposia da empresa se mostra equivocada?
1,0 pessoa de 50 reais. A empresa de eventos fez a seguinte proposta a aniversariante: para cada pessoa adicionada, além das 60 já combinadas, seria possível reduzir 2 reais no valor do pacote por pessoa. Nessas condições, qual o número de pessoas na festa que maximizaria o lucro da empresa de eventos? Qual seria o lucro da empresa? A partir de quantas pessoas adicionadas a proposia da empresa se mostra equivocada?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma empresa de eventos que fechou uma festa para 60 pessoas por R$200 por pessoa. A empresa tem um custo fixo de R$6.000 por festa e um custo variável de R$50 por pessoa. Além disso, eles propõem reduzir R$2 no valor do pacote para cada pessoa adicional além das 60 já combinadas.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com funções de custo, receita e lucro para encontrar o número de pessoas que maximiza o lucro da empresa. Também vamos analisar a partir de quantas pessoas a proposta da empresa deixa de ser vantajosa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar:
- $ N $: Número total de pessoas na festa.
- $ x $: Número de pessoas adicionais além das 60 iniciais, ou seja, $ x = N - 60 $.
Sabemos que:
- Custo fixo (CF) = R$6.000
- Custo variável por pessoa (CV) = R$50
- Preço por pessoa inicialmente = R$200
- Redução no preço por pessoa para cada pessoa adicional = R$2
Passo 3
Vamos expressar o preço por pessoa em função de $ x $:
Agora, o total de pessoas será:
Passo 4
Vamos calcular a Receita Total (RT):
Passo 5
Agora, vamos calcular o Custo Total (CT):
Passo 6
O Lucro (L) é a diferença entre Receita Total e Custo Total:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Então, a função lucro é:
Passo 7
Para encontrar o número de pessoas que maximiza o lucro, precisamos encontrar o valor de $ x $ que maximiza a função quadrática $ L(x) = -2x^2 + 30x + 3000 $.
A fórmula para encontrar o valor de $ x $ que maximiza uma função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $ é:
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 30 $.
Passo 8
Como $ x $ representa o número de pessoas adicionais e não pode ser uma fração, vamos analisar os valores próximos:
-
Se $ x = 7 $:
-
Se $ x = 8 $:
Portanto, tanto 7 quanto 8 pessoas adicionais resultam no mesmo lucro máximo de R$3.112.
Passo 9
Agora, vamos responder cada pergunta:
-
Número de pessoas que maximiza o lucro:
- Pessoas adicionais: 7 ou 8
- Número total de pessoas: $ 60 + 7 = 67 $ ou $ 60 + 8 = 68 $
-
Lucro da empresa com esse número de pessoas:
- Lucro máximo: R$3.112
-
A partir de quantas pessoas adicionais a proposta se mostra equivocada:A proposta deixa de ser vantajosa quando o preço por pessoa se iguala ou fica abaixo do custo variável por pessoa. Ou seja:Portanto, a partir de 75 pessoas adicionais, a proposta da empresa se torna equivocada, pois o preço por pessoa seria igual ou inferior ao custo variável.
Resposta
A festa que maximiza o lucro da empresa tem 67 ou 68 pessoas e o lucro máximo é de R$3.112. A partir de 75 pessoas adicionais, a proposta da empresa se mostra equivocada.