Uma empresa de eventos, fechou uma festa de aniversário para um grupo de 60 pessoas, o valor ficou em 200 reais por pessoa. A empresa tem um custo fixo, por festa, de 6 mil reais e um custo por
1,0 pessoa de 50 reais. A empresa de eventos fez a seguinte proposta a aniversariante: para cada pessoa adicionada, além das 60 já combinadas, seria possível reduzir 2 reais no valor do pacote por pessoa. Nessas condições, qual o número de pessoas na festa que maximizaria o lucro da empresa de eventos? Qual seria o lucro da empresa? A partir de quantas pessoas adicionadas a proposia da empresa se mostra equivocada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma empresa de eventos que fechou uma festa para 60 pessoas por R$200 por pessoa. A empresa tem um custo fixo de R$6.000 por festa e um custo variável de R$50 por pessoa. Além disso, eles propõem reduzir R$2 no valor do pacote para cada pessoa adicional além das 60 já combinadas.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com funções de custo, receita e lucro para encontrar o número de pessoas que maximiza o lucro da empresa. Também vamos analisar a partir de quantas pessoas a proposta da empresa deixa de ser vantajosa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • $ N $: Número total de pessoas na festa.
  • $ x $: Número de pessoas adicionais além das 60 iniciais, ou seja, $ x = N - 60 $.
Sabemos que:
  • Custo fixo (CF) = R$6.000
  • Custo variável por pessoa (CV) = R$50
  • Preço por pessoa inicialmente = R$200
  • Redução no preço por pessoa para cada pessoa adicional = R$2

Passo 3

Vamos expressar o preço por pessoa em função de $ x $:
x ç
Agora, o total de pessoas será:
Preço por pessoa = 200 - 2x

Passo 4

Vamos calcular a Receita Total (RT):
RT = Preço por pessoa times Número de pessoas çú
RT = (200 - 2x) times (60 + x)

Passo 5

Agora, vamos calcular o Custo Total (CT):
CT = Custo fixo + (Custo variável por pessoa times Número de pessoas) áú
CT = 6000 + 50 times (60 + x)
CT = 6000 + 3000 + 50x
CT = 9000 + 50x

Passo 6

O Lucro (L) é a diferença entre Receita Total e Custo Total:
L = RT - CT
L = (200 - 2x)(60 + x) - (9000 + 50x)
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
L = 200 times 60 + 200x - 2x times 60 - 2x^2 - 9000 - 50x
L = 12000 + 200x - 120x - 2x^2 - 9000 - 50x
L = (12000 - 9000) + (200x - 120x - 50x) - 2x^2
L = 3000 + 30x - 2x^2
Então, a função lucro é:
L(x) = -2x^2 + 30x + 3000

Passo 7

Para encontrar o número de pessoas que maximiza o lucro, precisamos encontrar o valor de $ x $ que maximiza a função quadrática $ L(x) = -2x^2 + 30x + 3000 $.
A fórmula para encontrar o valor de $ x $ que maximiza uma função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $ é:
x
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 30 $.
L(x) = -2x^2 + 30x + 3000
x
f(x) = ax^2 + bx + c

Passo 8

Como $ x $ representa o número de pessoas adicionais e não pode ser uma fração, vamos analisar os valores próximos:
  • Se $ x = 7 $:
    x
  • Se $ x = 8 $:
    x = 7
Portanto, tanto 7 quanto 8 pessoas adicionais resultam no mesmo lucro máximo de R$3.112.

Passo 9

Agora, vamos responder cada pergunta:
  1. Número de pessoas que maximiza o lucro:
    • Pessoas adicionais: 7 ou 8
    • Número total de pessoas: $ 60 + 7 = 67 $ ou $ 60 + 8 = 68 $
  2. Lucro da empresa com esse número de pessoas:
    • Lucro máximo: R$3.112
  3. A partir de quantas pessoas adicionais a proposta se mostra equivocada:
    A proposta deixa de ser vantajosa quando o preço por pessoa se iguala ou fica abaixo do custo variável por pessoa. Ou seja:
    60 + 7 = 67
    60 + 8 = 68
    3.112 3 **A partir de quantas pessoas adicionais a proposta se mostra equivocada:** A proposta deixa de ser vantajosa quando o preço por pessoa se iguala ou fica abaixo do custo variável por pessoa Ou seja:
    200 - 2x <= 50
    Portanto, a partir de 75 pessoas adicionais, a proposta da empresa se torna equivocada, pois o preço por pessoa seria igual ou inferior ao custo variável.

Resposta

A festa que maximiza o lucro da empresa tem 67 ou 68 pessoas e o lucro máximo é de R$3.112. A partir de 75 pessoas adicionais, a proposta da empresa se mostra equivocada.

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