(2.0 pontos)
(1.0 ponto) Seja
f(x, y)=e^2 x-y^3+y cos x-4 x y
Calcule partial fpartial x(0,0), partial fpartial y(0,0), partial^2 fpartial x partial y(0,0), partial^2 fpartial^2 y(0,0) e partial^2 fpartial^2 x(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=e^2x-y^3+y,cos x-4xy no ponto (0,0). O conteúdo envolvido é derivação parcial em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial e as regras de derivação (cadeia, soma, produto) para cada termo.

Passo 2

Vamos começar encontrando partial fpartial x(x,y). Para isso, derivamos termo a termo em relação a x:
partialpartial xe^2x-y^3=2,e^2x-y^3,
partialpartial x(ycos x)=-y,sin x,
partialpartial x(-4xy)=-4y
Somando, chegamos a
partial fpartial x(x,y)=2e^2x-y^3-ysin x-4y
Para o ponto (0,0) temos
partial fpartial x(0,0)=2e^0-0-0=2

Passo 3

Agora obtemos partial fpartial y(x,y). Derivando cada termo em relação a y:
partialpartial ye^2x-y^3=-3y^2,e^2x-y^3,
partialpartial y(ycos x)=cos x,
partialpartial y(-4xy)=-4x
Logo,
partial fpartial y(x,y)=-3y^2e^2x-y^3+cos x-4x
No ponto (0,0):
partial fpartial y(0,0)=-0+cos0-0=1

Passo 4

Para achar partial^2 fpartial xpartial y(0,0) podemos derivar fx(x,y) em relação a y. Partindo de
partial fpartial x(x,y)=2e^2x-y^3-ysin x-4y,
derivamos em y:
partial^2 fpartial ypartial x(x,y)=-6y^2e^2x-y^3-sin x-4
Avaliando em (0,0)
partial^2 fpartial xpartial y(0,0)=-0-0-4=-4

Passo 5

Para partial^2 fpartial^2 y(0,0) derivamos fy(x,y) em relação a y. Começando de
partial fpartial y(x,y)=-3y^2e^2x-y^3+cos x-4x,
aplicamos a regra do produto no termo -3y^2e^2x-y^3:
partial^2 fpartial y^2(x,y)=(-6y)e^2x-y^3+(-3y^2)(-3y^2)e^2x-y^3=e^2x-y^3(-6y+9y^4)
Em (0,0):
partial^2 fpartial^2 y(0,0)=1cdot(0+0)=0

Passo 6

Por fim, para partial^2 fpartial^2 x(0,0) derivamos fx(x,y) em relação a x. Recordando
partial fpartial x(x,y)=2e^2x-y^3-ysin x-4y,
segue:
partial^2 fpartial x^2(x,y)=4e^2x-y^3-ycos x
No ponto (0,0):
partial^2 fpartial^2 x(0,0)=4e^0-0=4

Resposta

fx(0,0)=2, fy(0,0)=1, fxy(0,0)=-4, fyy(0,0)=0, fxx(0,0)=4

Exercícios relacionados