Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\\ k, & x=0\end{array}\right.. Determine k para que f seja contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}, & x\neq 0,\\[6pt] k, & x=0.\end{cases}
O que se pede: determinar o valor de k para que f seja contínua em x=0.
Informações relevantes:
  • Para x\neq 0 a expressão é \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}.
  • Para x=0 o valor de f é o número k (desconhecido).
  • Lembrete útil: uma função é contínua em x=0 se, e somente se, \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Logo precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}} e igualar esse limite a k.]

Passo 2

Vamos manipular a expressão \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} para uma forma que facilite o cálculo do limite. Use a identidade trigonométrica
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo na função obtemos, para x\neq 0,
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}}.

Passo 3

Reescrevemos a expressão isolando o quociente clásico \dfrac{\sin t}{t}. Note que
\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}.
Substituindo na expressão do Passo 2:
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = 2\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\frac{1}{x^{2}}.
Simplificando \left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}/x^{2}=\dfrac{1}{4} obtemos
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}.

Passo 4

Agora precisamos do limite conhecido
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vou demonstrar de forma elementar por desigualdades (teorema do aperto/squeeze) por que esse limite vale 1.
Para t com 0<t<\frac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1.
Explicando rapidamente: a desigualdade \sin t \le t \dfrac{\sin t}{t}\le 1; a desigualdade t\le \tan t (para t positivo pequeno) dá \cos t \le \dfrac{\sin t}{t}. Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pelo teorema do aperto segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 5

Voltemos ao nosso limite. No Passo 3 achamos
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}.
Tomando limite quando x\to 0, fazemos a substituição t=\dfrac{x}{2}. Como t\to 0 quando x\to 0 e pelo resultado do Passo 4 temos \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\right)^{2} = \frac{1}{2}\cdot 1^{2} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Para que f seja contínua em x=0 é necessário e suficiente que k=f(0) seja igual ao limite calculado em 0. Logo devemos escolher
k=\frac{1}{2}.

Resposta

k=\dfrac{1}{2}

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