O que se pede: determinar o valor de k para que f seja contínua em x=0.
Informações relevantes:
Para x\neq 0 a expressão é \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}.
Para x=0 o valor de f é o número k (desconhecido).
Lembrete útil: uma função é contínua em x=0 se, e somente se, \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Logo precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}} e igualar esse limite a k.]
Passo 2
Vamos manipular a expressão \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} para uma forma que facilite o cálculo do limite. Use a identidade trigonométrica
Vou demonstrar de forma elementar por desigualdades (teorema do aperto/squeeze) por que esse limite vale 1.
Para t com 0<t<\frac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1.
Explicando rapidamente: a desigualdade \sin t \le t dá \dfrac{\sin t}{t}\le 1; a desigualdade t\le \tan t (para t positivo pequeno) dá \cos t \le \dfrac{\sin t}{t}. Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pelo teorema do aperto segue que
Tomando limite quando x\to 0, fazemos a substituição t=\dfrac{x}{2}. Como t\to 0 quando x\to 0 e pelo resultado do Passo 4 temos \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Portanto