Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=z^{2}+1 e \gamma é a reunião dos segmentos de reta unindo 0,1 e 1,1+i

Passo 1

O enunciado pede
determinar
\int_{\gamma}f(z)\,dz
onde f(z)=z^{2}+1 e \gamma é o caminho que vai de 0 até 1 e depois até 1+i.
Como f é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), a integral é independente do caminho e basta usar a primitiva de f.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F de f.
Como
f(z)=z^{2}+1,
uma primitiva é
F(z)=\int(z^{2}+1)\,dz=\frac{z^{3}}{3}+z.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo em variável complexa,
\int_{\gamma}f(z)\,dz=F\bigl(1+i\bigr)-F(0).
Calculemos F(1+i):
(1+i)^{3}=1+3i+3i^{2}+i^{3}=1+3i-3-i=-2+2i,
logo
F(1+i)=\frac{-2+2i}{3}+(1+i)=-\frac{2}{3}+\frac{2i}{3}+1+i =\frac{1}{3}+\frac{5i}{3}.
E claramente F(0)=0.

Resposta

\int_{\gamma}f(z)\,dz=\frac{1}{3}+\frac{5i}{3}.

Exercícios relacionados