Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=e^{z} e \gamma é o segmento de reta unindo \pi i e 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}f(z)\,dz
onde f(z)=e^{z} e \gamma é o segmento de reta que vai de z=\pi i até z=1.
O conteúdo aqui é integração de funções holomorfas no plano complexo, usando o teorema fundamental do cálculo (primitiva).

Passo 2

A função e^{z} é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}) e possui como primitiva a própria função
\Phi(z)=e^{z},
pois \Phi'(z)=e^{z}=f(z). Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha em \mathbb{C}, temos independência de caminho e
\int_{\gamma}e^{z}\,dz \;=\;\Phi\bigl(1\bigr)-\Phi\bigl(\pi i\bigr) \;=\;e^{1}-e^{\pi i}.
Como e^{\pi i}=-1, isso fica
e - (-1) = e + 1.

Resposta

\displaystyle e + 1

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