Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=\frac{z+1}{z} e \gamma é a porção do círculo de centro na origem e raio 1 contida no semiplano superior, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\gamma}f(z)\,dz
onde f(z)=\frac{z+1}{z} e \gamma é a semicircunferência \lvert z\rvert=1 no semiplano superior, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo envolvido é integração de funções holomorfas (exceto em z=0) e uso de primitiva/ramo principal do logaritmo em contornos não fechados.

Passo 2

Observe que
f(z)=\frac{z+1}{z}=1+\frac1z,
então
\int_{\gamma}f(z)\,dz =\int_{\gamma}1\,dz+\int_{\gamma}\frac1z\,dz.

Passo 3

Para o primeiro termo, como \gamma vai de z(0)=1 a z(\pi)=-1,
\int_{\gamma}1\,dz =\Bigl[z\Bigr]_{1}^{-1} =-1-1=-2.
Para o segundo termo, escolhemos o ramo principal de \log z, contínuo na semicircunferência superior, com \Log(1)=0 e \Log(-1)=i\pi. Assim,
\int_{\gamma}\frac1z\,dz =\Bigl[\Log(z)\Bigr]_{1}^{-1} =i\pi-0=i\pi.
Portanto,
\int_{\gamma}f(z)\,dz =-2+i\pi.

Resposta

-2 + i\pi

Exercícios relacionados