Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=z \operatorname{sen}\left(z^{2}\right) e \gamma é a curva \gamma(t)=\left(1+t^{2}\right)+\left(e^{t} i\right), 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede
determinar
\int_{\gamma}f(z)\,dz
para
f(z)=z\operatorname{sen}\bigl(z^2\bigr)
ao longo da curva
\gamma(t)=(1+t^2)+i\,e^t,\;0\le t\le1.
Como f é uma função inteira (nesse caso, soma e produto de funções inteiras), ela admite primitiva em todo \mathbb{C}. Logo podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integração de funções holomorfas e só precisamos encontrar uma primitiva de f.

Passo 2

Achar uma primitiva F de f:
faremos a substituição u=z^2. Então
u=z^2,\quad du=2z\,dz
e
\int z\operatorname{sen}\bigl(z^2\bigr)\,dz =\tfrac12\int \operatorname{sen}(u)\,du =-\tfrac12\cos(u)+C =-\tfrac12\cos\bigl(z^2\bigr)+C.
Portanto uma primitiva é
F(z)=-\tfrac12\cos\bigl(z^2\bigr).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{\gamma}f(z)\,dz =F\bigl(\gamma(1)\bigr)-F\bigl(\gamma(0)\bigr).
Calculamos os extremos:
\gamma(0)=1+i e \gamma(1)=2+ie.
Então
\bigl(1+i\bigr)^2=1+2i+i^2=2i, \qquad \bigl(2+ie\bigr)^2 =4+4i\,e+(ie)^2 =4-e^2+4i\,e.

Passo 4

Substituindo em F(z)=-\tfrac12\cos(z^2), vem
F\bigl(\gamma(1)\bigr) =-\tfrac12\cos\bigl((2+ie)^2\bigr), \qquad F\bigl(\gamma(0)\bigr) =-\tfrac12\cos\bigl((1+i)^2\bigr) =-\tfrac12\cos(2i).
Logo
\int_{\gamma}f(z)\,dz =-\tfrac12\Bigl[\cos\bigl((2+ie)^2\bigr)-\cos(2i)\Bigr].

Resposta

\boxed{ \int_{\gamma}z\operatorname{sen}\bigl(z^2\bigr)\,dz =-\tfrac12\Bigl[\cos\bigl((2+ie)^2\bigr)-\cos(2i)\Bigr] }.

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