Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=z^{2}+1 e \gamma é o segmento de reta que une 0 e 1+i

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{\gamma}f(z)\,dz
onde f(z)=z^2+1 e \gamma é o segmento de reta de 0 até 1+i. Como f é polinomial (logo holomorfa em todo \mathbb{C}), podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções holomorfas, isto é, basta encontrar uma primitiva F de f e avaliar F nos pontos finais de \gamma.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F de
f(z)=z^2+1.
Integramos termo a termo: uma primitiva de z^2 é \tfrac{z^3}{3} e de 1 é z. Logo podemos escolher
F(z)=\frac{z^3}{3}+z.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de funções holomorfas, temos
\int_{\gamma}f(z)\,dz =F\bigl(1+i\bigr)-F(0).
Como F(0)=0, resta calcular F(1+i).

Passo 4

Calculemos
(1+i)^3=(1+i)^2(1+i)=(2i)(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i.
Então
F(1+i)=\frac{(1+i)^3}{3}+(1+i) =\frac{-2+2i}{3}+1+i =\Bigl(1-\tfrac{2}{3}\Bigr)+\Bigl(i+\tfrac{2i}{3}\Bigr) =\tfrac{1}{3}+\tfrac{5i}{3}.

Resposta

\int_{\gamma}f(z)\,dz =\frac{1+5i}{3}.

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