Determine o valor de
em cada um dos casos abaixo:
e
é qualquer curva que não passa pela origem e une os pontos
e
(ambos não nulos)
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é qualquer curva em
que une dois pontos fixos
e
, ambos diferentes de zero. O conteúdo aqui é o uso do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de funções holomorfas que possuem primitiva.
Passo 2
Verificamos que
é holomorfa em
e que a função
satisfaz
Portanto
é uma primitiva de
em todo
.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, a integral de
ao longo de qualquer curva de
a
depende apenas dos valores de
nos extremos:
Passo 4
Substituindo
, obtemos