Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=\frac{1}{z^{2}} e \gamma é qualquer curva que não passa pela origem e une os pontos z_{1} e z_{2} (ambos não nulos)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\gamma}\frac{1}{z^{2}}\,dz
onde \gamma é qualquer curva em \mathbb{C}\setminus\{0\} que une dois pontos fixos z_{1} e z_{2}, ambos diferentes de zero. O conteúdo aqui é o uso do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de funções holomorfas que possuem primitiva.

Passo 2

Verificamos que f(z)=z^{-2} é holomorfa em \mathbb{C}\setminus\{0\} e que a função
F(z)=-\frac{1}{z}
satisfaz
F'(z)=\frac{d}{dz}\Bigl(-\frac{1}{z}\Bigr)=\frac{1}{z^{2}}=f(z).
Portanto F é uma primitiva de f em todo \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, a integral de f ao longo de qualquer curva de z_{1} a z_{2} depende apenas dos valores de F nos extremos:
\int_{\gamma}f(z)\,dz =\int_{\gamma}F'(z)\,dz =F(z_{2})-F(z_{1}).

Passo 4

Substituindo F(z)=-1/z, obtemos
\int_{\gamma}\frac{1}{z^{2}}\,dz =\Bigl(-\frac{1}{z_{2}}\Bigr)-\Bigl(-\frac{1}{z_{1}}\Bigr) =-\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{1}}.

Resposta

\int_{\gamma}\frac{1}{z^{2}}\,dz =-\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{1}}.

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