Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=z^{4}+3 z^{3}-z+\operatorname{sen} z onde \gamma é a curva \gamma(t)=\cos \left(t^{2}\right)+i\left(\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)+1\right), 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\gamma}f(z)\,dz
onde
f(z)=z^{4}+3z^{3}-z+\sin z
e \gamma é a curva parametrizada por
\gamma(t)=\cos(t^{2})+i\bigl(\sin(t^{2})+1\bigr),\quad 0\le t\le1.
O conteúdo envolvido é o teorema fundamental do cálculo para funções holomorfas: se f é inteira, então existe primitiva F e a integral independe do caminho, dependendo apenas dos pontos iniciais e finais.

Passo 2

Note que f é soma de polinômios e de \sin z, todos inteiros em \mathbb{C}. Logo f é holomorfa em todo \mathbb{C} e admite primitiva. Procuramos F tal que F'(z)=f(z). Basta integrar termo a termo:
F(z)=\int\bigl(z^{4}+3z^{3}-z+\sin z\bigr)\,dz =\frac{z^{5}}{5}+\frac{3z^{4}}{4}-\frac{z^{2}}{2}-\cos z.

Passo 3

Pelo teorema fundamental,
\int_{\gamma}f(z)\,dz =F\bigl(\gamma(1)\bigr)-F\bigl(\gamma(0)\bigr).
Calculamos agora os extremos da curva:
\gamma(0)=\cos0+i(\sin0+1)=1+i,
\gamma(1)=\cos1+i(\sin1+1).

Passo 4

Substituindo em F, obtemos
\int_{\gamma}f(z)\,dz =F\bigl(\cos1+i(\sin1+1)\bigr)\;-\;F(1+i).
Em forma explícita,
\int_{\gamma}f(z)\,dz =\Bigl[\tfrac{\bigl(\cos1+i(\sin1+1)\bigr)^{5}}{5} +\tfrac{3\bigl(\cos1+i(\sin1+1)\bigr)^{4}}{4} -\tfrac{\bigl(\cos1+i(\sin1+1)\bigr)^{2}}{2} -\cos\bigl(\cos1+i(\sin1+1)\bigr)\Bigr]
\quad-\Bigl[\tfrac{(1+i)^{5}}{5} +\tfrac{3(1+i)^{4}}{4} -\tfrac{(1+i)^{2}}{2} -\cos(1+i)\Bigr].

Resposta

\int_{\gamma}f(z)\,dz =F\bigl(\cos1+i(\sin1+1)\bigr)\;-\;F(1+i),
onde
F(z)=\frac{z^{5}}{5}+\frac{3z^{4}}{4}-\frac{z^{2}}{2}-\cos z.

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