Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=e^{z+2} onde \gamma é o semicírculo \gamma(t)=3 e^{i t}, 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz
para f(z)=e^{z+2} ao longo do semicírculo
\gamma(t)=3e^{it}, 0\le t\le\pi.
O conteúdo aqui é a existência de primitiva em análise complexa: como f é inteira, podemos usar o Teorema Fundamental da Integral Contour para funções holomorfas.

Passo 2

Como f(z)=e^{z+2} é inteira, uma primitiva é
F(z)=e^{z+2},
pois \tfrac{d}{dz}F(z)=e^{z+2}=f(z).

Passo 3

Os extremos da curva são
\gamma(0)=3e^{i\cdot0}=3
e
\gamma(\pi)=3e^{i\pi}=-3.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{\gamma}f(z)\,dz =F\bigl(\gamma(\pi)\bigr)-F\bigl(\gamma(0)\bigr) =F(-3)-F(3).
Calculando, temos
F(-3)=e^{-3+2}=e^{-1}, \qquad F(3)=e^{3+2}=e^{5}.

Resposta

\int_{\gamma}f(z)\,dz =e^{-1}-e^{5}.

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