Use o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que as integrais abaixo são nulas (em todos os itens, \gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1 orientada no sentido anti-horário):
\int_{\gamma} \frac{z}{z-5} d z

Passo 1

O exercício pede para calcular \displaystyle \int_{\gamma}\frac{z}{z-5}\,dz, onde \gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo é o Teorema de Cauchy-Goursat, que garante que a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado em um domínio simplesmente conexo é zero.

Passo 2

Analisamos a função
f(z)=\frac{z}{z-5}.
Ela só tem singularidade onde z-5=0, isto é, em z=5. Como \gamma é o círculo |z|=1, a singularidade z=5 está fora da região interior a \gamma.

Passo 3

Pelo Teorema de Cauchy-Goursat, se f for holomorfa (analítica) em um domínio simplesmente conexo que contenha a curva \gamma e todo o seu interior, então
\int_{\gamma}f(z)\,dz = 0.

Passo 4

Aqui f(z)=\frac{z}{z-5} é holomorfa em todo o interior de \gamma (a única singularidade está em z=5, fora do círculo). Portanto,
\int_{\gamma}\frac{z}{z-5}\,dz = 0.

Resposta

0

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