Use o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que as integrais abaixo são nulas (em todos os itens,
é a circunferência de centro na origem e raio 1 orientada no sentido anti-horário):
Passo 1
O exercício pede para calcular
, onde
é a circunferência de centro na origem e raio
, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo é o Teorema de Cauchy-Goursat, que garante que a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado em um domínio simplesmente conexo é zero.
Passo 2
Analisamos a função
Ela só tem singularidade onde
, isto é, em
. Como
é o círculo
, a singularidade
está fora da região interior a
.
Passo 3
Pelo Teorema de Cauchy-Goursat, se
for holomorfa (analítica) em um domínio simplesmente conexo que contenha a curva
e todo o seu interior, então
Passo 4
Aqui
é holomorfa em todo o interior de
(a única singularidade está em
, fora do círculo). Portanto,