Se \gamma_{R} é a porção do círculo |z|=R contida no semiplano superior, orientada no sentido horário, mostre que
\left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}} d z\right|<2 \pi\left(\frac{2 \pi+\ln R}{R}\right) .
Em particular, \lim _{R \rightarrow \infty}\left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}} d z\right|=0.

Passo 1

O enunciado pede para estimar
\left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}}\,dz\right|
onde \gamma_{R} é o arco de círculo \lvert z\rvert=R no semiplano superior, orientado no sentido horário.
O conteúdo aqui é o lema ML para integrale sobre contornos:
\Bigl|\int_{\gamma}f(z)\,dz\Bigr|\le \bigl(\max_{z\in\gamma}|f(z)|\bigr)\,(\text{comprimento de }\gamma).

Passo 2

Em z\in\gamma_{R} temos \lvert z\rvert=R e, na convenção usual do logaritmo principal,
\log z = \ln\lvert z\rvert + i\,\Arg z
com \Arg z\in[0,\pi]. Logo
|\log z| = \bigl|\ln R + i\,\Arg z\bigr| \le \ln R + |\Arg z| \le \ln R + \pi < \ln R + 2\pi.

Passo 3

Ainda em \gamma_{R} temos \bigl|z^{-2}\bigr|=R^{-2}. Portanto
\biggl|\frac{\log z}{z^{2}}\biggr| \le \frac{|\log z|}{R^{2}} < \frac{\ln R + 2\pi}{R^{2}}.

Passo 4

O comprimento do arco \gamma_{R} é metade de uma circunferência de raio R, ou seja
\text{length}(\gamma_{R})=\pi R.
Pelo lema ML,
\left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}}\,dz\right| \le \Bigl(\max_{\gamma_{R}}\bigl|\tfrac{\log z}{z^2}\bigr|\Bigr)\,\pi R < \frac{\ln R + 2\pi}{R^{2}}\;\pi R = \frac{\pi(\ln R + 2\pi)}{R}.
Como \pi<2\pi, segue imediatamente
\left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}}\,dz\right| < 2\pi\;\frac{\ln R + 2\pi}{R}.

Passo 5

Por fim, observamos que
\frac{\ln R + 2\pi}{R}\;\xrightarrow[R\to\infty]{}\;0,
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\lim_{R\to\infty} \left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}}\,dz\right| =0.

Resposta

\left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}}\,dz\right| <2\pi\;\frac{2\pi+\ln R}{R} \quad\text{e}\quad \lim_{R\to\infty} \left|\int_{\gamma_{R}} \frac{\log z}{z^{2}}\,dz\right| =0.

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