Encontre uma função primitiva
da função
dada que satisfaça a condição inicial.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma função primitiva
da função
que satisfaça a condição inicial
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente encontrando antiderivadas. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo de
separadamente e depois usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função primitiva de
é uma função
cuja derivada é
. Então, precisamos integrar cada termo de
:
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral de
:
Sabemos que a integral deé . Portanto:
- Integral de
:
A integral deé . Então:
- Integral de
:
A integral deé . Logo:
Passo 4
Agora, juntando todas as integrais e combinando as constantes
em uma única constante
, temos:
Passo 5
Para encontrar o valor da constante
, usamos a condição inicial
. Vamos substituir
na expressão de
:
Agora, vamos calcular cada termo:
Substituindo esses valores:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
Para facilitar, vamos combinar os termos com
:
Então:
Passo 7
Isolando
:
Podemos racionalizar
:
Então:
Para somar as frações com
, achamos o denominador comum, que é 6:
Assim:
Resposta
A função primitiva que satisfaz a condição inicial é: