Encontre uma função primitiva F(x) da função f(x) dada que satisfaça a condição inicial.
f(x)=2 cossec^2 x-sec ^2 x+cos x, onde F(pi3)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma função primitiva F(x) da função f(x) = 2 csc^2x - sec^2x + cos x que satisfaça a condição inicial F(pi3) = 2 . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente encontrando antiderivadas. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo de f(x) separadamente e depois usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função primitiva de f(x) é uma função F(x) cuja derivada é f(x) . Então, precisamos integrar cada termo de f(x) :
integral f(x) , dx = integral (2 csc^2x - sec^2x + cos x) dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de 2 csc^2x :
    Sabemos que a integral de csc^2x é -cot x . Portanto:
integral 2 csc^2x , dx = -2 cot x + C1
  1. Integral de -sec^2x :
    A integral de sec^2x é tan x . Então:
integral -sec^2x , dx = -tan x + C2
  1. Integral de cos x :
    A integral de cos x é sin x . Logo:
integral cos x , dx = sin x + C3

Passo 4

Agora, juntando todas as integrais e combinando as constantes C1, C2, C3 em uma única constante C , temos:
F(x) = -2 cot x - tan x + sin x + C

Passo 5

Para encontrar o valor da constante C , usamos a condição inicial F(pi3) = 2 . Vamos substituir x = pi3 na expressão de F(x) :
2 = -2 cot(pi3) - tan(pi3) + sin(pi3) + C
Agora, vamos calcular cada termo:
  • cot(pi3) = 1tan(pi3) = 1raiz3
  • tan(pi3) = raiz3
  • sin(pi3) = raiz32
Substituindo esses valores:
2 = -2 (1raiz3) - raiz3 + raiz32 + C

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
2 = -2raiz3 - raiz3 + raiz32 + C
Para facilitar, vamos combinar os termos com raiz3 :
-raiz3 + raiz32 = -2raiz32 + raiz32 = -raiz32
Então:
2 = -2raiz3 - raiz32 + C

Passo 7

Isolando C :
C = 2 + 2raiz3 + raiz32
Podemos racionalizar 2raiz3 :
2raiz3 = 2raiz33
Então:
C = 2 + 2raiz33 + raiz32
Para somar as frações com raiz3 , achamos o denominador comum, que é 6:
2raiz33 = 4raiz36, raiz32 = 3raiz36
Assim:
C = 2 + 4raiz3 + 3raiz36 = 2 + 7raiz36

Resposta

A função primitiva que satisfaz a condição inicial é:
F(x) = -2 cot x - tan x + sin x + 2 + 7raiz36

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