Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) onde a equação diferencial é
e a condição inicial é
. Para isso, vamos precisar usar o método de integração das equações diferenciais de primeira ordem. Basicamente, vamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é igual a
. Para achar
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Integrando a equação, temos:
A integral de
em relação a
é
, então:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
por
e
por
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a solução geral da equação diferencial que satisfaz a condição inicial:
Podemos simplificar unindo os logaritmos:
Resposta
A solução do PVI é: