Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
y^prime=x^-1, y(pi)=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) onde a equação diferencial é y' = 1x e a condição inicial é y(pi) = -3 . Para isso, vamos precisar usar o método de integração das equações diferenciais de primeira ordem. Basicamente, vamos encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial y' = 1x . Isso significa que a derivada de y em relação a x é igual a 1x . Para achar y(x) , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a x .

Passo 3

Integrando a equação, temos:
y = integral 1x , dx
A integral de 1x em relação a x é ln|x| , então:
y = ln|x| + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição inicial y(pi) = -3 para encontrar o valor de C . Substituímos x por pi e y por -3 na equação:
-3 = ln|pi| + C
Resolvendo para C :
C = -3 - lnpi

Passo 5

Com o valor de C encontrado, podemos escrever a solução geral da equação diferencial que satisfaz a condição inicial:
y = ln|x| - 3 - lnpi
Podemos simplificar unindo os logaritmos:
y = ln(xpi) - 3

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = ln(xpi) - 3

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