Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
y^prime prime=x+raizx ; y^prime(1)=2, y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A matéria que vamos tocar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente uma equação de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação duas vezes e usar as condições iniciais que nos foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
y'' = x + raizx
Aqui, y'' é a segunda derivada de y em relação a x. Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação.

Passo 3

O próximo passo é integrar a equação para encontrar a primeira derivada, y'. Vamos fazer isso:
integral y'' , dx = integral (x + raizx) , dx
Integrando o lado direito, temos:
y' = 12x^2 + 23x^3/2 + C
Aqui, C é a constante de integração. Para encontrá-la, usamos a condição inicial y'(1) = 2.

Passo 4

Substituindo x = 1 e y' = 2 na equação que encontramos para y':
2 = 12(1)^2 + 23(1)^3/2 + C
Simplificando:
2 = 12 + 23 + C
Primeiro, somamos 12 e 23:
12 + 23 = 36 + 46 = 76
Então:
2 = 76 + C
Subtraindo 76 de ambos os lados:
C = 2 - 76 = 126 - 76 = 56
Então, a primeira derivada é:
y' = 12x^2 + 23x^3/2 + 56

Passo 5

Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função y(x):
integral y' , dx = integral (12x^2 + 23x^3/2 + 56) dx
Integrando termo a termo:
y = 16x^3 + 415x^5/2 + 56x + D
Aqui, D é outra constante de integração. Para encontrá-la, usamos a condição inicial y(1) = 1.

Passo 6

Substituindo x = 1 e y = 1 na equação que encontramos para y:
1 = 16(1)^3 + 415(1)^5/2 + 56(1) + D
Simplificando:
1 = 16 + 415 + 56 + D
Primeiro, somamos os termos fracionários:
16 + 56 = 1
Então:
1 = 1 + 415 + D
Subtraindo 1 de ambos os lados:
0 = 415 + D
Portanto:
D = -415

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 16x^3 + 415x^5/2 + 56x - 415

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