Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A matéria que vamos tocar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente uma equação de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação duas vezes e usar as condições iniciais que nos foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 3
O próximo passo é integrar a equação para encontrar a primeira derivada,
. Vamos fazer isso:
Integrando o lado direito, temos:
Aqui,
é a constante de integração. Para encontrá-la, usamos a condição inicial
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação que encontramos para
:
Simplificando:
Primeiro, somamos
e
:
Então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, a primeira derivada é:
Passo 5
Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é outra constante de integração. Para encontrá-la, usamos a condição inicial
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação que encontramos para
:
Simplificando:
Primeiro, somamos os termos fracionários:
Então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Portanto:
Resposta
A solução do PVI é: