Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral-1^5(1+3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-1^5(1+3x),dx usando o teorema da variação total (que é a forma do Teorema Fundamental do Cálculo que diz que a integral de f de a até b é dada por F(b)-F(a), sendo F uma antiderivada de f).

Passo 2

Para aplicar o teorema, primeiro encontramos uma antiderivada F(x) de f(x)=1+3x. A antiderivada de 1 é x e a de 3x é tfrac32x^2. Assim:
F(x) = x + 32x^2

Passo 3

Agora aplicamos o teorema da variação total:
$$\int_{-1}^{5}(1+3x),dx = F(5) - F(-1)
$$

Passo 4

Calculamos as duas avaliações:
F(5) = 5 + 32cdot 5^2 = 5 + 32cdot 25 = 5 + 37,5 = 42,5
F(-1) = -1 + 32cdot (-1)^2 = -1 + 32cdot 1 = -1 + 1,5 = 0,5

Passo 5

A diferença fica:
F(5) - F(-1) = 42,5 - 0,5 = 42

Resposta

42

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