Determine o valor da integral abaixo
se for convergente.
se for convergente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, quando convergente, a integral imprópria
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, logo trata-se de uma integral imprópria no limite inferior.
Passo 2
Definição da integral imprópria que vamos usar: escrever a integral como limite de integrais próprias. Ou seja,
A integral convergirá se e somente se esse limite existir finito. Agora vamos calcular a integral própria
e depois tomar o limite
.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva de
usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma forma diferencial cuja primitiva é
.
Escolhas úteis (porque a derivada de
simplifica e a primitiva de
é simples):
-
então . -
então (pois ).
Aplicando a fórmula:
Calcule a integral restante:
Portanto uma primitiva é
Passo 4
Avaliar a integral própria e tomar o limite. Para
,
Calcule
:
Então
Agora tomamos o limite quando
:
precisamos avaliar
precisamos avaliar
Mostramos que esse limite é
. Uma maneira clara: faça a mudança
, então
quando
e
Ambos os termos
e
tendem a
quando
porque a função exponencial no denominador cresce muito mais rápido que qualquer polinômio no numerador. Para ser formal, por exemplo, usando L’Hôpital para
(derivando numerador e denominador obtém-se
). Logo
Portanto o limite da integral própria existe e
Passo 5
Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é
.