Determine o valor da integral abaixo
se for convergente.
\int_{-\infty}^{0} x e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, quando convergente, a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} x e^{2x}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é x e^{2x}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,0], logo trata-se de uma integral imprópria no limite inferior.

Passo 2

Definição da integral imprópria que vamos usar: escrever a integral como limite de integrais próprias. Ou seja,
\int_{-\infty}^{0} x e^{2x}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} x e^{2x}\,dx.
A integral convergirá se e somente se esse limite existir finito. Agora vamos calcular a integral própria \int_{a}^{0} x e^{2x}\,dx e depois tomar o limite a\to -\infty.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva de x e^{2x} usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vezes dx e dv é uma forma diferencial cuja primitiva é v.
Escolhas úteis (porque a derivada de x simplifica e a primitiva de e^{2x} é simples):
  • u = x então du = dx.
  • dv = e^{2x}\,dx então v = \dfrac{1}{2}e^{2x} (pois \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{2}e^{2x}\big)=e^{2x}).
Aplicando a fórmula:
\int x e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
Calcule a integral restante:
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 4

Avaliar a integral própria e tomar o limite. Para a<0,
\int_{a}^{0} x e^{2x}\,dx = F(0)-F(a).
Calcule F(0):
F(0)=\frac{1}{2}\cdot 0\cdot e^{0} - \frac{1}{4}e^{0} = -\frac{1}{4}.
Então
\int_{a}^{0} x e^{2x}\,dx = -\frac{1}{4} - \left(\frac{1}{2}a e^{2a} - \frac{1}{4}e^{2a}\right) = -\frac{1}{4} - e^{2a}\!\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{4}\right).
Agora tomamos o limite quando a\to -\infty:
precisamos avaliar
\lim_{a\to -\infty} e^{2a}\!\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{4}\right).
Mostramos que esse limite é 0. Uma maneira clara: faça a mudança t=-a, então t\to +\infty quando a\to -\infty e
e^{2a}\!\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{4}\right) = e^{-2t}\!\left(-\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\right).
Ambos os termos t e^{-2t} e e^{-2t} tendem a 0 quando t\to\infty porque a função exponencial no denominador cresce muito mais rápido que qualquer polinômio no numerador. Para ser formal, por exemplo, usando L’Hôpital para \lim_{t\to\infty} \dfrac{t}{e^{2t}} = 0 (derivando numerador e denominador obtém-se \lim_{t\to\infty}\dfrac{1}{2e^{2t}}=0). Logo
\lim_{a\to -\infty} e^{2a}\!\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{4}\right)=0.
Portanto o limite da integral própria existe e
\int_{-\infty}^{0} x e^{2x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x e^{2x}\,dx = -\frac{1}{4} - 0 = -\frac{1}{4}.

Passo 5

Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é -\tfrac{1}{4}.

Resposta

-\dfrac{1}{4}

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