A parábola
divide o disco
em duas partes. Encontre as áreas de ambas as partes
Passo 1
O enunciado dá a parábola
- A parábola é simétrica em relação ao eixo
. Isso sugere usar simetria em
ao calcular integrais.]
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (onde a parábola corta o círculo). Substituindo
na equação do círculo:
Fazendo a substituição
(com
) obtemos a quadrática
Resolvendo:
Como
tomamos
Portanto os pontos de interseção têm abscissas
e altura
. Observe a relação útil (que vem da igualdade na interseção): no ponto de interseção vale
ou seja
Passo 3
Escolher método para calcular as áreas. Vou usar integração em
com fatias verticais e a simetria par em
. Para cada
com
o segmento vertical dentro do disco vai de
até
; a parte “acima da parábola” corresponde, para
, ao intervalo de
entre
e
. Para
não há pontos do disco com
(pois a parábola fica acima do círculo). Logo a área da porção onde
é
A outra área é
área do disco
. A área total do disco é
Passo 4
Calcular a integral
. Usar a primitiva conhecida (é a área de um segmento circular):
Aqui
. Avaliando de
a
:
Agora use a relação da interseção
. Substituindo:
Passo 5
Calcular a outra integral simples:
Subtraindo e multiplicando por
(pela simetria):
Simplificando:
Passo 6
Simplificar a expressão trigonométrica: com
tem-se
(usando
que vem da equação de interseção), portanto
ou seja
. Assim pode-se escrever
com
. A porção abaixo da parábola é
Passo 7
Cálculo numérico (aproximação): primeiro
Então
E
Resposta
Área da parte com
:
, com
\
Área da parte com :
\
Área da parte com