A parábola y=x^{2} divide o disco x^{2}+y^{2} \leq 8 em duas partes. Encontre as áreas de ambas as partes

Passo 1

O enunciado dá a parábola y=x^{2}\) e o disco \(x^{2}+y^{2}\le 8\). Pergunta: encontrar as áreas das duas partes em que a parábola divide esse disco. Informações relevantes extraídas do enunciado: - O disco tem raio \(R=\sqrt{8}\). - A fronteira comum entre as duas partes é a interseção entre a parábola e o círculo, ou seja as soluções do sistema \[\begin{cases} y=x^{2},\\[4pt] x^{2}+y^{2}=8. \end{cases}
  • A parábola é simétrica em relação ao eixo y\] e está totalmente para \(y\ge 0. Isso sugere usar simetria em x ao calcular integrais.]

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (onde a parábola corta o círculo). Substituindo y=x^{2} na equação do círculo:
x^{2}+(x^{2})^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad x^{4}+x^{2}-8=0.
Fazendo a substituição t=x^{2} (com t\ge 0) obtemos a quadrática
t^{2}+t-8=0.
Resolvendo:
t=\frac{-1\pm\sqrt{1+32}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}.
Como t\ge 0 tomamos
t=\frac{\sqrt{33}-1}{2}.
Portanto os pontos de interseção têm abscissas
x=\pm a,\qquad a=\sqrt{t}=\sqrt{\frac{\sqrt{33}-1}{2}},
e altura y=x^{2}=t. Observe a relação útil (que vem da igualdade na interseção): no ponto de interseção vale
t=\sqrt{8-t},
ou seja
\sqrt{8-a^{2}}=a^{2}.

Passo 3

Escolher método para calcular as áreas. Vou usar integração em x com fatias verticais e a simetria par em x. Para cada x com |x|\le a o segmento vertical dentro do disco vai de y=-\sqrt{8-x^{2}} até y=+\sqrt{8-x^{2}}; a parte “acima da parábola” corresponde, para |x|\le a, ao intervalo de y entre y=x^{2} e y=+\sqrt{8-x^{2}}. Para |x|>a não há pontos do disco com y\ge x^{2} (pois a parábola fica acima do círculo). Logo a área da porção onde y\ge x^{2} é
A_{\text{acima}}=\int_{-a}^{a}\big(\sqrt{8-x^{2}}-x^{2}\big)\,dx =2\int_{0}^{a}\big(\sqrt{8-x^{2}}-x^{2}\big)\,dx.
A outra área é A_{\text{abaixo}}= área do disco -A_{\text{acima}}. A área total do disco é
\mathrm{Área}_{\text{disco}}=\pi R^{2}=\pi\cdot 8=8\pi.Á

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{a}\sqrt{8-x^{2}}\,dx. Usar a primitiva conhecida (é a área de um segmento circular):
\int \sqrt{R^{2}-x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{R^{2}-x^{2}}+\frac{R^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{R}\right)+C.
Aqui R=\sqrt{8}. Avaliando de 0 a a:
\int_{0}^{a}\sqrt{8-x^{2}}\,dx=\frac{a}{2}\sqrt{8-a^{2}}+4\arcsin\!\left(\frac{a}{\sqrt{8}}\right).
Agora use a relação da interseção \sqrt{8-a^{2}}=a^{2}. Substituindo:
\int_{0}^{a}\sqrt{8-x^{2}}\,dx=\frac{a}{2}\,a^{2}+4\arcsin\!\left(\frac{a}{\sqrt{8}}\right) =\frac{a^{3}}{2}+4\arcsin\!\left(\frac{a}{\sqrt{8}}\right).

Passo 5

Calcular a outra integral simples:
\int_{0}^{a} x^{2}\,dx=\frac{a^{3}}{3}.
Subtraindo e multiplicando por 2 (pela simetria):
A_{\text{acima}}=2\left[\left(\frac{a^{3}}{2}+4\arcsin\!\left(\frac{a}{\sqrt{8}}\right)\right)-\frac{a^{3}}{3}\right] =2\left(\frac{a^{3}}{6}+4\arcsin\!\left(\frac{a}{\sqrt{8}}\right)\right).
Simplificando:
A_{\text{acima}}=\frac{a^{3}}{3}+8\arcsin\!\left(\frac{a}{\sqrt{8}}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão trigonométrica: com \sin\theta=\dfrac{a}{\sqrt{8}} tem-se \cos\theta=\dfrac{a^{2}}{\sqrt{8}} (usando 8-a^{2}=a^{4} que vem da equação de interseção), portanto
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{1}{a},
ou seja \theta=\arctan\!\left(\frac{1}{a}\right). Assim pode-se escrever
A_{\text{acima}}=\frac{a^{3}}{3}+8\arctan\!\left(\frac{1}{a}\right),
com a=\sqrt{\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}}. A porção abaixo da parábola é
A_{\text{abaixo}}=8\pi-A_{\text{acima}}.

Passo 7

Cálculo numérico (aproximação): primeiro
a=\sqrt{\frac{\sqrt{33}-1}{2}}\approx 1{,}5402213.
Então
A_{\text{acima}}\approx \frac{3{,}6538382}{3}+8\cdot 0{,}574897\approx 1{,}2179461+4{,}599176\approx 5{,}817122.
E
A_{\text{abaixo}}=8\pi-A_{\text{acima}}\approx 25{,}132741-5{,}817122\approx 19{,}315619.

Resposta

Área da parte com y\ge x^{2}: \displaystyle \frac{a^{3}}{3}+8\arctan\!\left(\frac{1}{a}\right), com a=\sqrt{\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}}\ \approx 5{,}817122
Área da parte com y\le x^{2}: \displaystyle 8\pi-\left(\frac{a^{3}}{3}+8\arctan\!\left(\frac{1}{a}\right)\right)\ \approx 19{,}315619

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