Determine o valor da integral dupla
l integral duplaR(5-3 y) d A onde R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! O exercício pede para calcular a integral de 5 - 3y sobre a região R, que é o quadrado onde x e y variam de 0 a 1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. Ela é definida por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. Isso significa que estamos lidando com um quadrado de lado 1 no plano xy.

Passo 3

A integral dupla integral duplaR(5 - 3y) , dA pode ser escrita como uma integral iterada. Vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y:
integral0^1 integral0^1 (5 - 3y) , dx , dy

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a x. Como a expressão 5 - 3y não depende de x, a integral em x fica:
integral0^1 (5 - 3y) , dx = (5 - 3y) cdot x |0^1 = (5 - 3y)(1) - (5 - 3y)(0) = 5 - 3y

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral em y:
integral0^1 (5 - 3y) , dy

Passo 6

Vamos integrar 5 - 3y em relação a y:
integral (5 - 3y) , dy = 5y - 32y^2 + C
Avaliando de 0 a 1:
(5(1) - 32(1)^2) - (5(0) - 32(0)^2) = 5 - 32 = 102 - 32 = 72

Resposta

O valor da integral dupla é 72.

Exercícios relacionados