Escreva a integral tripla
, onde
é uma região no primeiro octante limitada pelo cone
, pelo cilindro
e pelos planos coordenados.
Em coordenadas esfericas
Em coordenadas esfericas
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral tripla
onde
é a região no primeiro octante limitada pelo cone
, pelo cilindro
e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas esféricas
, com
e o elemento de volume
Passo 2
Determinar a variação de
. Como estamos no primeiro octante, projetando no plano
e
, temos
Passo 3
Determinar a variação de
. A superfície
em esféricas é
A região fica entre o plano
(que corresponde a
) e o cone
, logo
Passo 4
Determinar a variação de
. A curva de interseção com o cilindro
em esféricas é
Como partimos da origem, temos
Passo 5
Escrever o integrando em esféricas. Temos
, então
Multiplicando pelo elemento de volume
, o integrando fica