Escreva a integral tripla I=integralegral duplaR integral(3+2 y) d V, onde R é uma região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos coordenados.
Em coordenadas esfericas

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla
I=integral triplaR(3+2y),dV
onde R é a região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas esféricas (rho,varphi,theta), com
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
e o elemento de volume
dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 2

Determinar a variação de theta. Como estamos no primeiro octante, projetando no plano xy x>=0 e y>=0, temos
0<=theta<=pi2

Passo 3

Determinar a variação de varphi. A superfície z=raizx^2+y^2 em esféricas é
rhocosvarphi=rhosinvarphi Longrightarrow varphi=pi4
A região fica entre o plano z=0 (que corresponde a varphi=tfracpi2) e o cone varphi=tfracpi4, logo
pi4<=varphi<=pi2

Passo 4

Determinar a variação de rho. A curva de interseção com o cilindro x^2+y^2=1 em esféricas é
rho^2sin^2varphi=1 Longrightarrow rho=1sinvarphi
Como partimos da origem, temos
0<=rho<=1sinvarphi

Passo 5

Escrever o integrando em esféricas. Temos y=rhosinvarphisintheta, então
3+2y=3+2,rhosinvarphisintheta
Multiplicando pelo elemento de volume rho^2sinvarphi, o integrando fica
l(3+2,rhosinvarphisinthetar),rho^2sinvarphi

Resposta

I =integraltheta=0^pi2 integralvarphi=pi4^pi2 integralrho=0^1sinvarphi l(3+2,rhosinvarphisinthetar),rho^2sinvarphi ;drho,dvarphi,dtheta

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