Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
identificando a família de soluções (uma constante de integração) numa forma implícita e também encontrando as soluções constantes. O método adequado aqui é o de separação de variáveis.
identificando a família de soluções (uma constante de integração) numa forma implícita e também encontrando as soluções constantes. O método adequado aqui é o de separação de variáveis.
Passo 2
Procuramos soluções constantes, isto é,
tal que
. Da equação
vem que
. Logo
é a única solução constante.
Passo 3
Para as demais soluções, se
podemos separar variáveis:
Passo 4
Integramos os dois lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando por
e reorganizando, obtemos uma forma implícita da família de soluções:
ou, multiplicando tudo por
,
em que
representa uma constante arbitrária.
Resposta
A família de soluções gerais (implícita) é
e a única solução constante é