Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = y^3x^2
identificando a família de soluções (uma constante de integração) numa forma implícita e também encontrando as soluções constantes. O método adequado aqui é o de separação de variáveis.

Passo 2

Procuramos soluções constantes, isto é, y(x)=y0 tal que dy/dx=0. Da equação
dydx = y^3x^2 = 0
vem que y^3=0. Logo
y0 = 0
é a única solução constante.

Passo 3

Para as demais soluções, se yneq0 podemos separar variáveis:
dyy^3 = dxx^2

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral y^-3,dy = integral x^-2,dx
-12y^2 = -1x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por -1 e reorganizando, obtemos uma forma implícita da família de soluções:
12y^2 = 1x + C'
ou, multiplicando tudo por 2,
1y^2 = 2x + C,
em que C representa uma constante arbitrária.

Resposta

A família de soluções gerais (implícita) é
1y^2 = 2x + C,
e a única solução constante é
y(x) equiv 0

Exercícios relacionados