Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (1) a família de soluções implícita com um parâmetro e (2) as soluções constantes. Este é um caso de EDO de variáveis separáveis: vamos isolar os numa mão e os noutra e depois integrar.
Passo 2
Primeiro escrevemos e dividimos por :
Agora separemos as variáveis, colocando tudo em de um lado e tudo em do outro:
Passo 3
Note que . Logo a separação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Calculemos as duas primitivas:
integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral sin(x),dx = xsin(x) + cos(x) + C2
Passo 6
Igualando as duas expressões e absorvendo C1-C2 num único C, obtemos
-lnl|cos(y)r| = xsin(x) + cos(x) + C
ou, multiplicando por -1 e renomeando a constante,
lnl|cos(y)r| + xsin(x) + cos(x) = C
Esta é a forma implícita da família de soluções.
Passo 7
Para encontrar soluções constantes, imponha y'=0. Então a EDO vira
0 = x,cot(y0) forall x,
o que exige cot(y0)=0. Como cot(y0)=cos(y0)sin(y0), isso dá cos(y0)=0, ou seja