Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
sec (x) y^prime=x cotg(y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
sec(x),y' = x,cot(y)
e pede (1) a família de soluções implícita com um parâmetro e (2) as soluções constantes. Este é um caso de EDO de variáveis separáveis: vamos isolar os y numa mão e os x noutra e depois integrar.

Passo 2

Primeiro escrevemos y' = dydx e dividimos por sec(x):
dydx = xcos(x),cot(y)
Agora separemos as variáveis, colocando tudo em y de um lado e tudo em x do outro:
dycot(y) = xcos(x),dx

Passo 3

Note que 1cot(y) = tan(y). Logo a separação fica
tan(y),dy = xcos(x),dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral tan(y),dy = integral xcos(x),dx

Passo 5

Calculemos as duas primitivas:
integral tan(y),dy = -lnl|cos(y)r| + C1,
integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral sin(x),dx = xsin(x) + cos(x) + C2

Passo 6

Igualando as duas expressões e absorvendo C1-C2 num único C, obtemos
-lnl|cos(y)r| = xsin(x) + cos(x) + C
ou, multiplicando por -1 e renomeando a constante,
lnl|cos(y)r| + xsin(x) + cos(x) = C
Esta é a forma implícita da família de soluções.

Passo 7

Para encontrar soluções constantes, imponha y'=0. Então a EDO vira
0 = x,cot(y0) forall x,
o que exige cot(y0)=0. Como cot(y0)=cos(y0)sin(y0), isso dá cos(y0)=0, ou seja
y0 = pi2 + kpi, kinZ

Resposta

Família implícita de soluções:
lnl|cos(y)r| + xsin(x) + cos(x) = C
Soluções constantes:
y(x) = pi2 + kpi, kinZ

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