Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
d yd x=x^2 y^21+x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = x^2y^21+x
Este é um caso de equação separável: podemos agrupar os termos em y de um lado e os termos em x do outro para integrar.

Passo 2

Procuramos soluções constantes y(x)=y0. Nesse caso tfracdydx=0, então
0 = x^2y0^21+x
só se satisfaz para y0=0. Portanto,
y(x)=0
é a única solução constante.

Passo 3

Para separar variáveis, escrevemos
1y^2,dy = x^21+x,dx

Passo 4

Integramos cada lado:
No lado esquerdo,
integral 1y^2,dy = integral y^-2,dy = -1y
No lado direito, fazemos divisão polinomial:
x^21+x = x - 1 + 11+x,
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integral x^21+x,dx = integral l(x - 1 + tfrac11+xr),dx = x^22 - x + lnlvert 1+xrvert

Passo 5

Igualando as duas primitividades e colocando a constante C,
-,1y = x^22 - x + lnlvert 1+xrvert + C
Multiplicando por -1 e renomeando a constante em C',
1y + x^22 - x + lnlvert 1+xrvert = C'
Essa é a forma implícita da família de soluções.

Resposta

A família de soluções a um parâmetro é dada implicitamente por
1y + x^22 - x + lnlvert 1+xrvert = C',
e a única solução constante é
y(x)=0

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