Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Este é um caso de equação separável: podemos agrupar os termos em
de um lado e os termos em
do outro para integrar.
Passo 2
Procuramos soluções constantes
. Nesse caso
, então
só se satisfaz para
. Portanto,
é a única solução constante.
Passo 3
Para separar variáveis, escrevemos
Passo 4
Integramos cada lado:
No lado esquerdo,
No lado direito, fazemos divisão polinomial:
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Passo 5
Igualando as duas primitividades e colocando a constante
,
Multiplicando por
e renomeando a constante em
,
Essa é a forma implícita da família de soluções.
Resposta
A família de soluções a um parâmetro é dada implicitamente por
e a única solução constante é