Determine o valor da integral integralegral duplaD 4 d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, sem utilizar o Teorema de Fubini, interpretando-a como o volume de um sólido.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD4,dA, onde D é o retângulo definido por 0<= x<=1 e 0<= y<=2. O conteúdo aqui é integral dupla interpretada como volume sob a superfície z=f(x,y) sobre a região D.

Passo 2

Para interpretar como volume, lembramos que se temos uma função f(x,y) não negativa sobre uma região D, o volume do sólido abaixo de z=f(x,y) e acima de D é dado por
V=integral duplaDf(x,y),dA

Passo 3

No nosso caso, f(x,y)=4 é uma função constante. Assim o volume será simplesmente a altura constante (4) multiplicada pela área da base D.
Precisamos então calcular a área de D. Como D é um retângulo de largura (no eixo x) igual a 1 e altura (no eixo y) igual a 2, a área é
Área(D)=1times2=2Á

Passo 4

Finalmente, o volume (e portanto o valor da integral) é o produto da altura pela área da base:
integral duplaD4,dA=4times2=8

Resposta

8

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