Determine o valor da integral
, sem utilizar o Teorema de Fubini, interpretando-a como o volume de um sólido.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é o retângulo definido por
e
. O conteúdo aqui é integral dupla interpretada como volume sob a superfície
sobre a região
.
Passo 2
Para interpretar como volume, lembramos que se temos uma função
não negativa sobre uma região
, o volume do sólido abaixo de
e acima de
é dado por
Passo 3
No nosso caso,
é uma função constante. Assim o volume será simplesmente a altura constante (4) multiplicada pela área da base
.
Precisamos então calcular a área de . Como
é um retângulo de largura (no eixo
) igual a 1 e altura (no eixo
) igual a 2, a área é
Precisamos então calcular a área de
Passo 4
Finalmente, o volume (e portanto o valor da integral) é o produto da altura pela área da base:
Resposta
8