Escreva a definição de ponto de máximo local e absoluto, ponto de mínimo local e absoluto de uma função real de duas variáveis reais.

Passo 1

O enunciado pede as definições de ponto de máximo e de mínimo, tanto local quanto absoluto, para uma função real de duas variáveis fcolon DsubseteqR^2toR. Para isso vamos precisar do conceito de vizinhança (disco aberto) em R^2.

Passo 2

Uma vizinhança (ou disco aberto) de raio r>0 em torno de um ponto (x0,y0)inR^2 é o conjunto
Br((x0,y0))=l(x,y)inR^2 mid raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2<rr
Em outras palavras, é o conjunto de todos os pontos que estão a menos de r unidades de distância de (x0,y0).

Passo 3

Dizemos que (x0,y0)in D é
– um ponto de máximo local de f se existir r>0 tal que, para todo (x,y)in Dcap Br((x0,y0)),
f(x,y)<= f(x0,y0)
– um ponto de mínimo local de f se existir r>0 tal que, para todo (x,y)in Dcap Br((x0,y0)),
f(x,y)>= f(x0,y0)

Passo 4

Dizemos que (x0,y0)in D é
– um ponto de máximo absoluto (ou global) de f se, para todo (x,y)in D,
f(x,y)<= f(x0,y0)
– um ponto de mínimo absoluto (ou global) de f se, para todo (x,y)in D,
f(x,y)>= f(x0,y0)

Resposta

(a) (x0,y0) é ponto de máximo local se existir r>0 tal que forall (x,y)in Dcap Br((x0,y0)) , f(x,y)<= f(x0,y0) .
(b) (x0,y0) é ponto de mínimo local se existir r>0 tal que forall (x,y)in Dcap Br((x0,y0)) , f(x,y)>= f(x0,y0) .
(c) (x0,y0) é ponto de máximo absoluto se forall (x,y)in D , f(x,y)<= f(x0,y0) .
(d) (x0,y0) é ponto de mínimo absoluto se forall (x,y)in D , f(x,y)>= f(x0,y0) .

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