Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
e
Passo 1
Vamos desenrolar o que o exercício pede: precisamos esboçar as curvas
(uma parábola abrindo para a direita, com vértice em
) e
(a reta de 45°). O objetivo é encontrar a área da região fechada por elas, o que envolve achar os pontos de interseção e usar integração.
Passo 2
Para encontrar onde as duas curvas se cruzam, igualamos
em
. Assim,
evoluindo:
Resolvendo a equação quadrática,
logo
ou
. Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora a gente decide qual curva fica à direita e qual fica à esquerda para montar a integral. Para
entre 1 e 4, temos:
- A parábola dá
, que varia de 1 até 4 mas sempre é menor que . - A reta dá
, maior que nesse intervalo.
Então, em cada fatia horizontal a espessura é, o lado direito é e o esquerdo é .
Passo 4
A área vale
Vamos calcular essa integral. Primeiro expandimos o integrando:
A primitiva de
é
Avaliando de 1 a 4:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
.