Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
x=(y-2)^2 e y=x

Passo 1

Vamos desenrolar o que o exercício pede: precisamos esboçar as curvas x=(y-2)^2 (uma parábola abrindo para a direita, com vértice em (0,2)) e y=x (a reta de 45°). O objetivo é encontrar a área da região fechada por elas, o que envolve achar os pontos de interseção e usar integração.

Passo 2

Para encontrar onde as duas curvas se cruzam, igualamos x=y em x=(y-2)^2. Assim,
y = (y-2)^2
evoluindo:
y = y^2 - 4y + 4
0 = y^2 - 5y + 4
Resolvendo a equação quadrática,
y = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
logo y=1 ou y=4. Os pontos de interseção são (1,1) e (4,4).

Passo 3

Agora a gente decide qual curva fica à direita e qual fica à esquerda para montar a integral. Para y entre 1 e 4, temos:
  • A parábola dá x=(y-2)^2, que varia de 1 até 4 mas sempre é menor que y.
  • A reta dá x=y, maior que (y-2)^2 nesse intervalo.
    Então, em cada fatia horizontal a espessura é dy, o lado direito é xrm reta=y e o esquerdo é xrm para!=(y-2)^2.

Passo 4

A área vale
A = integraly=1^4 l(y - (y-2)^2r),dy
Vamos calcular essa integral. Primeiro expandimos o integrando:
y - (y-2)^2 = y - (y^2 - 4y + 4) = -y^2 + 5y - 4
A primitiva de -y^2 +5y -4 é
-y^33 + 5y^22 -4y
Avaliando de 1 a 4:
l(-tfrac4^33 + tfrac5cdot4^22 -4cdot4r) - l(-tfrac1^33 + tfrac5cdot1^22 -4cdot1r) = 83 -l(-tfrac116r) = 276 = 92

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 92.

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