Determine o valor da integral iterada integral duplaR ln (r+s+1) d s d r, onde R=[0,2] times[1,3], com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
integralr=0^2!integrals=1^3 ln(r+s+1),ds,dr
O conteúdo envolve mudança de variável na integral interna e depois integração por partes na integral externa.

Passo 2

Calcular a integral interna em s:
Use a substituição
t = r + s + 1, dt = ds,
quando s=1 temos t=r+2 e quando s=3 temos t=r+4. Assim
integrals=1^3 ln(r+s+1),ds = integralt=r+2^r+4 ln t,dt
Como
integral ln t,dt = tln t - t,
segue que
integralr+2^r+4 ln t,dt = l[(r+4)ln(r+4)-(r+4)r] - l[(r+2)ln(r+2)-(r+2)r] = (r+4)ln(r+4)-(r+2)ln(r+2)-2

Passo 3

A integral total vira
integral0^2l[(r+4)ln(r+4)-(r+2)ln(r+2)-2r],dr = underbraceintegral0^2(r+4)ln(r+4),drI1 - underbraceintegral0^2(r+2)ln(r+2),drI2 - integral0^22,dr
Note que integral0^22,dr=4.

Passo 4

Calcular
I1 = integral0^2(r+4)ln(r+4),dr,
fazer a troca u=r+4, vai de u=4 a u=6, ficando
I1 = integral4^6uln u,du
De modo análogo,
I2 = integral0^2(r+2)ln(r+2),dr = integral2^4vln v,dv

Passo 5

Usar integração por partes em cada uma:
integral vln v,dv = v^22ln v - integral v^22cdot1v,dv = v^22ln v - v^24
Logo
I1=l[tfracu^22ln u - tfracu^24r]4^6 = 18ln6 - 9 ;-;(8ln4 -4) = 18ln6 -8ln4 -5,
I2=l[tfracv^22ln v - tfracv^24r]2^4 = (8ln4 -4) - (2ln2 -1) = 8ln4 -2ln2 -3

Passo 6

Substituindo em
integral!!integralR ln(r+s+1),ds,dr = I1 - I2 -4
obtém-se
I = l(18ln6 -8ln4 -5r) - l(8ln4 -2ln2 -3r) -4 = 18ln6 -30ln2 -6
Como ln6=ln2+ln3, isso simplifica para
I = -12ln2 +18ln3 -6
Numericamente, usando ln2approx0,693147 e ln3approx1,098612,
Iapprox5,457255ldots

Resposta

integral duplaRln(r+s+1),ds,dr = -12ln2 +18ln3 -6 approx 5,457

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