Use a regra do ponto médio com
e
para estimar o valor da integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estimar o valor da integral dupla $ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} e^{x+y} , dy , dx $ usando a regra do ponto médio com $ m = 2 $ e $ n = 2 $. Isso significa que vamos dividir o intervalo de integração em 2 partes tanto na direção de $ x $ quanto na de $ y $, e usar os pontos médios dessas subdivisões para aproximar o valor da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra do ponto médio em integrais duplas e calcular os valores das funções nos pontos médios das subdivisões.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração em 2 partes na direção de $ x $ e na direção de $ y $. Como os limites são de 0 a 1 para ambas as variáveis, cada subdivisão terá um comprimento de $ \Delta x = \Delta y = \frac{1 - 0}{2} = 0,5 $.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos médios de cada subdivisão. Para $ x $, os pontos são:
- Primeiro subintervalo: $ x_1 = 0 + \frac{\Delta x}{2} = 0 + 0,25 = 0,25 $
- Segundo subintervalo: $ x_2 = 0,5 + 0,25 = 0,75 $
Para $ y $, os pontos são:
- Primeiro subintervalo: $ y_1 = 0 + \frac{\Delta y}{2} = 0 + 0,25 = 0,25 $
- Segundo subintervalo: $ y_2 = 0,5 + 0,25 = 0,75 $
Passo 4
Com os pontos médios identificados, vamos avaliar a função $ e^{x+y} $ nesses pontos:
- $ f(x_1, y_1) = e^{0,25 + 0,25} = e^{0,5} $
- $ f(x_1, y_2) = e^{0,25 + 0,75} = e^{1,0} $
- $ f(x_2, y_1) = e^{0,75 + 0,25} = e^{1,0} $
- $ f(x_2, y_2) = e^{0,75 + 0,75} = e^{1,5} $
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do ponto médio para integrais duplas. A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular a soma das funções avaliadas:
Somando esses valores:
Passo 7
Agora, multiplicamos pela área de cada subintervalo $ \Delta x \cdot \Delta y = 0,25 $:
Resposta
A estimativa do valor da integral $ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} e^{x+y} , dy , dx $ usando a regra do ponto médio com $ m = 2 $ e $ n = 2 $ é aproximadamente 2,8915.