Use a regra do ponto médio com m=2 e n=2 para estimar o valor da integral integral0^1 integral0^1 e^x+y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estimar o valor da integral dupla $ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} e^{x+y} , dy , dx $ usando a regra do ponto médio com $ m = 2 $ e $ n = 2 $. Isso significa que vamos dividir o intervalo de integração em 2 partes tanto na direção de $ x $ quanto na de $ y $, e usar os pontos médios dessas subdivisões para aproximar o valor da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra do ponto médio em integrais duplas e calcular os valores das funções nos pontos médios das subdivisões.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração em 2 partes na direção de $ x $ e na direção de $ y $. Como os limites são de 0 a 1 para ambas as variáveis, cada subdivisão terá um comprimento de $ \Delta x = \Delta y = \frac{1 - 0}{2} = 0,5 $.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos médios de cada subdivisão. Para $ x $, os pontos são:
  • Primeiro subintervalo: $ x_1 = 0 + \frac{\Delta x}{2} = 0 + 0,25 = 0,25 $
  • Segundo subintervalo: $ x_2 = 0,5 + 0,25 = 0,75 $
Para $ y $, os pontos são:
  • Primeiro subintervalo: $ y_1 = 0 + \frac{\Delta y}{2} = 0 + 0,25 = 0,25 $
  • Segundo subintervalo: $ y_2 = 0,5 + 0,25 = 0,75 $

Passo 4

Com os pontos médios identificados, vamos avaliar a função $ e^{x+y} $ nesses pontos:
  • $ f(x_1, y_1) = e^{0,25 + 0,25} = e^{0,5} $
  • $ f(x_1, y_2) = e^{0,25 + 0,75} = e^{1,0} $
  • $ f(x_2, y_1) = e^{0,75 + 0,25} = e^{1,0} $
  • $ f(x_2, y_2) = e^{0,75 + 0,75} = e^{1,5} $

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do ponto médio para integrais duplas. A fórmula geral é:
Integral approx De
Substituindo os valores:
Integral approx 0,5 cdot 0,5 cdot ( e^0,5 + e^1,0 + e^1,0 + e^1,5 )

Passo 6

Vamos calcular a soma das funções avaliadas:
e^0,5 approx 1,6487
e^1,0 approx 2,7183
e^1,0 approx 2,7183
e^1,5 approx 4,4817
Somando esses valores:
1,6487 + 2,7183 + 2,7183 + 4,4817 = 11,566

Passo 7

Agora, multiplicamos pela área de cada subintervalo $ \Delta x \cdot \Delta y = 0,25 $:
De

Resposta

A estimativa do valor da integral $ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} e^{x+y} , dy , dx $ usando a regra do ponto médio com $ m = 2 $ e $ n = 2 $ é aproximadamente 2,8915.

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