Se f(x)=cos (3 x)k. Determine o valor de k para que f^prime(pi6)=-3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função f(x) = cos(3x)k e precisa achar o valor de k que faz a derivada dessa função em x = pi6 ser igual a -3. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função que envolve o cosseno. A regra geral para derivar cos(u) é ddx cos(u) = -sin(u) cdot u' , onde u é uma função de x .

Passo 3

No nosso caso, u = 3x . Então, a derivada de cos(3x) em relação a x é:
ddx cos(3x) = -sin(3x) cdot 3 = -3sin(3x)

Passo 4

Agora, como a função f(x) é cos(3x)k , vamos derivar isso. A constante 1k fica multiplicando a derivada da parte de cima. Então:
f'(x) = 1k cdot ddx cos(3x) = 1k cdot (-3sin(3x)) = -3k sin(3x)

Passo 5

Queremos que f'(pi6) = -3 . Vamos substituir x = pi6 na expressão da derivada:
f'(pi6) = -3k sin(3 cdot pi6)
Simplificando o argumento do seno:
3 cdot pi6 = pi2
E sabemos que sin(pi2) = 1 . Então:
f'(pi6) = -3k cdot 1 = -3k

Passo 6

Agora, igualamos isso a -3 conforme o enunciado:
-3k = -3
Multiplicando os dois lados por k :
-3 = -3k
Dividindo ambos os lados por -3:
k = 1

Resposta

O valor de k que satisfaz a condição é k = 1 .

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