Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente un contra-exemplo.
( 1 ponto) Seja A uma matriz de ordem n. O conjunto solução do sistema linear A x=0 é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de ordem n e define o conjunto
S = \{\,x\in\mathbb{R}^n \mid A\,x = 0\}.
Queremos verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^n. Para isso, vamos usar o critério usual: mostrar que o vetor zero está em S e que S é fechado sob combinações lineares.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de \mathbb{R}^n pertence a S. De fato,
A\,(0) = 0,
logo 0\in S.

Passo 3

Mostramos que S é fechado sob combinações lineares. Seja x,y\in S e \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então
A(\alpha x + \beta y) = \alpha\,A x + \beta\,A y = \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0,
de onde \alpha x + \beta y\in S.

Passo 4

Como S contém o vetor zero e é fechado sob combinação linear, concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^n.

Resposta

Verdadeira.

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