Determine o valor de k para que as retas r e s sejam perpendiculares, sendo:
r: k x+y+5=0 e s: 3 x+(k+1) y-9=0

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que as retas
r: kx+y+5=0
e
s: 3x+(k+1)y-9=0
sejam perpendiculares. O conteúdo é geometria analítica de retas no plano, em particular a relação entre declividades (inclinações) de retas perpendiculares.

Passo 2

Para encontrar a declividade (slope) de cada reta, lembramos que, para uma reta dada por ax+by+c=0, sua declividade é
m=-ab
Na reta r temos a=k e b=1, logo
mr=-k1=-k
Na reta s temos a=3 e b=k+1, logo
ms=-3k+1

Passo 3

Duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto de suas declividades for -1, isto é,
mrcdot ms=-1

Passo 4

Substituindo mr e ms na condição de perpendicularidade:
(-k)cdotgl(-3k+1gr)=-1
3kk+1=-1
Multiplicando ambos os lados por k+1:
3k=-(k+1)
3k=-k-1
4k=-1
k=-14

Passo 5

Verificamos que k+1neq0 para garantir que a declividade de s exista; como -tfrac14+1neq0, a solução é válida.

Resposta

k=-tfrac14

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