As retas de equações y=a x-4 e y=c x+d concorrem perpendicularmente no ponto P(3,2). Determine o valor de d.

Passo 1

A gente tem duas retas
,y=a x-4
e
,y=c x+d
que se cruzam no ponto P(3,2) e são perpendiculares.
Para resolver, vamos usar dois fatos:
  1. O ponto de interseção pertence a ambas as retas.
  2. Retas perpendiculares têm produto dos coeficientes angulares igual a -1.

Passo 2

Como P(3,2) está em ,y=a x-4, temos
2 = acdot 3 - 4
Logo,
3a - 4 = 2 Longrightarrow a = 2
Também, como P(3,2) está em ,y=c x+d, obtemos
2 = ccdot 3 + d Longrightarrow d = 2 - 3c

Passo 3

Pela condição de perpendicularidade, os coeficientes angulares a e c satisfazem
a ,c = -1
Como já achamos a=2, vem
2,c = -1 Longrightarrow c = -tfrac12

Passo 4

Substituindo c=-tfrac12 na expressão d = 2 - 3c, dá
d = 2 - 3l(-tfrac12r) = 2 + tfrac32 = tfrac42 + tfrac32 = tfrac72

Resposta

d = tfrac72

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